Simplifica: $\sum_{k=1}^n ({n \choose k}k^2 )$

Question

Necesito simplificar: $\sum_{k=1}^n ({n \choose k}k^2 )$ . Mi primera idea fue deshacerme del cuadrado y utilizar identidades conocidas para proceder. Esto es lo que hice
$$\sum_{k=1}^n( {n \choose k}k^2) = \sum_{k=1}^n( \frac n k {n-1 \choose k-1}k^2) = \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} nk = n \sum_{k=1}^n {n-1 \choose k-1} k = \\ n \sum_{s=0}^n \left({n-1 \choose s}(s+1) \right)$$ Ahora, lo único que me detiene aquí es el $s+1$ factor. ¿Hay alguna manera de deshacerse de él, o tal vez para cambiarlo a $s$ ?

Answer 1

Sugerencia : $$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}k^2 =\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}k(k-1)+ \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}k$$ Y si escribes $$ P(x)= \sum_{k=1}^n \binom{n}{k}x^k= (1+x)^n -1$$ Usted tendrá : $$\sum_{k=1}^n \binom{n}{k}k^2 =P''(1)+P'(1)$$

Answer 2

Sugerencia

Llegaste a $$n \sum_{s=0}^{n-1} {n-1 \choose s}(s+1)$$ Continuemos $$n \sum_{s=0}^{n-1} {n-1 \choose s}(s+1) = n \left[\sum_{s=0}^{n-1} {n-1 \choose s}(s)+ \sum_{s=0}^{n-1} {n-1 \choose s}\right]$$ $$=n \left[(n-1)\sum_{s=1}^{n-1} {n-2 \choose {s-1}}+ \sum_{s=0}^{n-1} {n-1 \choose s} \right]$$ Por el teorema binomial

$$=n[(n-1)2^{n-2}+2^{n-1}]$$ $$=n(n+1).2^{n-2}$$