¿La CDF elevada a potencia?

Question

Si $F_Z$ es una FCD, parece $F_Z(z)^\alpha$ ( $\alpha \gt 0$ ) también es una FCD.

P: ¿Se trata de un resultado estándar?

P: ¿Existe una buena manera de encontrar una función $g$ con $X \equiv g(Z)$ s.t. $F_X(x) = F_Z(z)^\alpha$ donde $ x \equiv g(z)$

Básicamente, tengo otro CDF en la mano, $F_Z(z)^\alpha$ . En algún sentido de forma reducida me gustaría caracterizar la variable aleatoria que produce esa FCD.

EDIT: Me alegraría poder obtener un resultado analítico para el caso especial $Z \sim N(0,1)$ . O al menos saber que tal resultado es intratable.

Answer 1

Pruebas sin palabras

La curva inferior azul es $F$ la curva superior roja es $F^\alpha$ (tipificando el caso $\alpha \lt 1$ ), y las flechas muestran cómo ir de $z$ à $x = g(z)$ .

Answer 2

Me gustan las otras respuestas, pero nadie ha mencionado aún lo siguiente. El acontecimiento $\{U \leq t,\ V\leq t \}$ se produce si y sólo si $\{\mathrm{max}(U,V)\leq t\}$ por lo que si $U$ y $V$ son independientes y $W = \mathrm{max}(U,V)$ entonces $F_{W}(t) = F_{U}(t)*F_{V}(t)$ por lo que para $\alpha$ un número entero positivo (digamos, $\alpha = n$ ) tomar $X = \mathrm{max}(Z_{1},...Z_{n})$ donde el $Z$ son i.i.d.

Para $\alpha = 1/n$ podemos cambiar para obtener $F_{Z} = F_{X}^n$ Así que $X$ sería aquella variable aleatoria tal que el máximo de $n$ copias independientes tiene la misma distribución que $Z$ (y éste no sería uno de nuestros amigos conocidos, en general).

El caso de $\alpha$ un número racional positivo (digamos, $\alpha = m/n$ ) se deduce de lo anterior, ya que $$ \left(F_{Z}\right)^{m/n} = \left(F_{Z}^{1/n}\right)^{m}. $$

Para $\alpha$ un irracional, elija una secuencia de racionales positivos $a_{k}$ convergiendo hacia $\alpha$ ; entonces la secuencia $X_{k}$ (donde podemos utilizar nuestros trucos anteriores para cada $k$ ) convergerá en distribución a la $X$ deseado.

Puede que esta no sea la caracterización que buscas, pero al menos da una idea de cómo pensar en $F_{Z}^{\alpha}$ para $\alpha$ adecuadamente agradable. Por otro lado, no estoy muy seguro de cuánto más bonito puede ser: ya tienes la FCD, así que la regla de la cadena te da la FDP, y puedes calcular momentos hasta que se ponga el sol...? Es cierto que la mayoría de $Z$ 's no tendrá un $X$ que es familiar para $\alpha = \sqrt{2}$ , pero si quisiera jugar con un ejemplo para buscar algo interesante podría probar con $Z$ distribuidos uniformemente en el intervalo unitario con $F(z) = z$ , $0<z<1$ .

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EDITAR: Escribí algunos comentarios en la respuesta de @JMS, y hubo una pregunta sobre mi aritmética, así que escribiré lo que quise decir con la esperanza de que quede más claro.

@cardinal correctamente en el comentario a la respuesta de @JMS escribió que el problema se simplifica a $$ g^{-1}(y) = \Phi^{-1}(\Phi^{\alpha}(y)), $$ o más generalmente cuando $Z$ no es necesariamente $N(0,1)$ tenemos $$ x = g^{-1}(y) = F^{-1}(F^{\alpha}(y)). $$ Mi punto era que cuando $F$ tiene una bonita función inversa podemos simplemente resolver la función $y = g(x)$ con álgebra básica. Escribí en el comentario que $g$ debe ser $$ y = g(x) = F^{-1}(F^{1/\alpha}(x)). $$

Tomemos un caso especial, enchufemos las cosas y veamos cómo funciona. Veamos $X$ tienen una distribución Exp(1), con CDF $$ F(x) = (1 - \mathrm{e}^{-x}),\ x > 0, $$ y CDF inversa $$ F^{-1}(y) = -\ln(1 - y). $$ Es fácil conectarlo todo para encontrar $g$ ; al terminar obtenemos $$ y = g(x) = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-x})^{1/\alpha} \right) $$ Así que, en resumen, mi afirmación es que si $X \sim \mathrm{Exp}(1)$ y si definimos $$ Y = -\ln \left( 1 - (1 - \mathrm{e}^{-X})^{1/\alpha} \right), $$ entonces $Y$ tendrá un FCD parecido a $$ F_{Y}(y) = \left( 1 - \mathrm{e}^{-y} \right)^{\alpha}. $$ Podemos demostrarlo directamente (véase $P(Y \leq y)$ y utilizar el álgebra para obtener la expresión, en el penúltimo paso necesitamos la Transformada Integral de Probabilidad). Sólo en el caso (a menudo repetido) de que estoy loco, hice algunas simulaciones para volver a comprobar que funciona, ... y lo hace. Véase más abajo. Para facilitar el código utilicé dos hechos: $$ \mbox{If $ X \sim F $ then $ U = F(X) \sim \mathrm{Unif}(0,1) $.} $$ $$ \mbox{If $ U \sim \mathrm{Unif}(0,1) $ then $ U^{1/\alpha} \sim \mathrm{Beta}(\alpha,1) $.} $$

A continuación se muestran los resultados de la simulación.

El código R utilizado para generar el gráfico (menos las etiquetas) es el siguiente

n <- 10000; alpha <- 0.7
z <- rbeta(n, shape1 = alpha, shape2 = 1)
y <- -log(1 - z)
plot(ecdf(y))
f <- function(x) (pexp(x, rate = 1))^alpha
curve(f, add = TRUE, lty = 2, lwd = 2)

El ajuste parece bastante bueno, creo. Tal vez no estoy loco (esta vez)?

Answer 3

P1) Sí. También es útil para generar variables ordenadas estocásticamente; puedes verlo en la bonita imagen de @whuber :). $\alpha>1$ intercambia el orden estocástico.

Que sea una cdf válida es sólo cuestión de verificar las condiciones requeridas: $F_z(z)^\alpha$ tiene que ser cadlag , no decreciente y límite a $1$ en el infinito y $0$ en el infinito negativo. $F_z$ tiene estas propiedades, por lo que son fáciles de mostrar.

P2) Parece que sería bastante difícil analíticamente, a menos que $F_Z$ es especial