Pregunta: ¿Por qué tan pocos $n\equiv 3 \bmod 8$ tienen un número impar de representaciones de la forma $$n=x_0^2 + x_1^2 + \dots + x_{10}^2$$ con $x_i \geq 0$ ?
Tenga en cuenta que $x_i\geq 0$ estropea la simetría lo suficiente como para que ésta no sea la pregunta habitual de "número de representaciones como suma de cuadrados". La cuestión también puede estar mal planteada: No sé si hay pocas $n$ pero los cálculos sugieren que su función de recuento es $\sim cx/\log x$ .
La pregunta que me gustaría responder es la siguiente: ¿qué $n$ tienen un número impar de representaciones de la forma $$n=x_0^2+2x_1^2+4x_2^2+ \dots = \sum_{i=0}^\infty 2^i x_i^2,$$ donde $x_i \geq 0$ ? ¿El conjunto de tales $n$ ¿tienen densidad 0? La motivación de esta pregunta es que no es trivialmente lo mismo que esta pregunta .
Si $n$ es par y tiene un número impar de repeticiones, entonces (bonito ejercicio) $n$ tiene la forma $2k^2$ . Si $n\equiv 1\pmod4$ y tiene un número impar de repeticiones, entonces (desafiante pero elemental) $n$ tiene un tipo especial de factorización, y hay muy pocas de este tipo $n$ .
La pregunta que hago aquí es para $n\equiv 3 \bmod 8$ . La reducción en módulo 8 revela que $x_2$ debe ser par. Si no es múltiplo de 4, entonces podemos emparejar los dos $$(x_0,x_1,x_2,x_3,x_4,x_5,\dots) \leftrightarrow (x_0,x_1,2x_4,x_3,x_2/2,x_5,\dots).$$ Si $x_2$ es múltiplo de 4 pero no de 8, entonces podemos hacer un emparejamiento similar con $x_2$ y $x_5$ etc. Esto sólo deja la situación cuando $x_2$ y $x_4,x_5,\dots$ son todas cero.
Esto nos deja en: ¿Qué $n\equiv 3\bmod 8$ tienen un número impar de representaciones en $$n = x_0^2 + 2x_1^2 + 8 x_3^2 \; , \; \; \mbox{with} \; \; x_0, x_1, x_3 \geq 0 \;?$$ Un poco de juego con las paridades de los coeficientes binomiales reduce esto a la pregunta con la que empecé.
