[editado]Demuestra que $f(x)=0$ existe en un intervalo determinado.

Question

Tengo $f:R \rightarrow R$ , $f(0)=-1$ y $f'(x) \ge1$ $\forall x$ . Necesito demostrar que $f(x)=0$ para algunos $x\in[0,1]$
Sé que tengo que utilizar el teorema del valor medio y el teorema del valor intermedio.

Pregunta corregida

Tengo $f(1)\ge0$ por el teorema del valor medio.
Parece probado desde $f(1)=0$ y esto era lo que necesitaba. $x=1$
Pero sé que también debo utilizar el teorema del valor intermedio. No sé dónde y cómo necesito el teorema del valor intermedio.

Pregunta original algo errónea

Así que tengo $f(1)\ge2$ por el teorema del valor medio.
Entonces por el teorema del valor intermedio puedo demostrar que $f(x)=0$ existe en $(0,1)$ .
Esto es suficiente ya que sé $f(0)$ y $f(1)$ no son $0$ .
Así que aunque me pidieran que mostrara en el intervalo cerrado, en realidad puedo mostrar en el intervalo abierto donde conozco el valor de los puntos finales.
Creo que lo he hecho bien, pero suelo equivocarme al menos en una cosita.
¿Puede alguien ver si estoy en lo cierto y sugerir que mejore la rigurosidad de mi prueba?

Answer 1

Supongamos que no hay $x \in [0,1]$ tal que $f(x) = 0$ . Entonces $f(1) < 0$ como $f(1) \neq 0$ por hipótesis y si $f(1)$ fuera positivo entonces habría tal $x$ por el IVP.

Sin embargo por el MVT hay un $c \in (0,1)$ tal que

$$f'(c) = \frac{f(1) - f(0)}{1-0} = f(1) + 1 < 1$$

Esto contradice la hipótesis de que $f'(x) \geq 1$ para todos $x$ . Por lo tanto, debe haber un $x \in [0,1]$ tal que $f(x) = 0$ .

Answer 2

Usted tiene $f(0)=-1$ y $f(1)\geq 0$ por la MVT. Ahora $f(0)f(1)<0$ así que por el teorema de Bolzano;

$$f(0)f(1)<0\implies \exists_!\, x_0\in (0,1) \colon f(x_0)=0$$