¿Para qué sirven los hipergrupos y los hiperrings?

Question

Encontré el concepto de hiperring en dos artículos recientes de Connes y Consani ( De los monoides a las hiperestructuras: en busca de una aritmética absoluta y El hiperring de las clases adèle ). Es un debilitamiento del concepto de anillo, pero donde se permite que la suma sea multivaluada. En efecto, la parte aditiva de un hiperring forma un "hipergrupo canónico".

Un hipergrupo canónico es un conjunto, $H$ dotado de una operación binaria conmutativa,

$$ + : H \times H \to P^*(H) $$

que toman valores en subconjuntos no vacíos de $H$ y un elemento cero $0 \in H$ tal que

1. $+$ es asociativo (ampliado para permitir la adición de subconjuntos de $H$ );
2. $0 + x = {\{x\}} = x + 0, \forall x \in H$ ;
3. $\forall x \in H, \exists ! y \in H$ tal que $0 \in x + y$ (denotamos $y$ como $-x$ );
4. $\forall x, y, z \in H, x \in y + z$ implica $z \in x - y$ (donde $x - y$ significa $x + (-y)$ como de costumbre).

(NB: $x$ puede escribirse para el singleton { $x$ }.)

Sé que los hiperrings se producen siempre que un anillo es cociente de un subgrupo de su grupo multiplicativo, pero me gustaría saber más sobre dónde y cómo han surgido los hiperrings y los hipergrupos en diferentes ramas de las matemáticas. ¿Cómo se considera canónico un hipergrupo canónico? ¿Son importantes los hipergrupos no canónicos? ¿Existe una forma teórica de ver estas hiperestructuras como naturales?

Answer 1

Aunque no sé mucho sobre hiperestructuras aparte de los hipergrupos, sé que es difícil estudiar la historia que hay detrás de ellas debido a la terminología poco coherente que distintos autores atribuyen a estos objetos en distintas épocas. Voy a decir algo sobre los hipergrupos y espero que algún especialista pueda venir y dar una mejor visión.

Primero una intuición física para hipergrupos conmutativos finitos que encontré útil: la manera más simple de pensar en ellos es pensar en una colección de tipos de partículas $\{c_0,c_1,\cdots,c_n\}$ donde dos partículas pueden colisionar para formar una tercera, aunque no de manera definitiva. Sean las constantes de estructura $n_{ij}^k$ denotan la probabilidad de que $c_i+c_j\rightarrow c_k$ . Supongamos $c_0$ denota fotones y que son absorbidos en cada colisión. Supongamos también que para cada partícula existe una antipartícula única, de modo que su colisión produzca un fotón con probabilidad distinta de cero.

Pasando a las definiciones propiamente dichas, llamaremos hipergrupo generalizado a un par $(\mathcal K, \mathcal A)$ donde $\mathcal A$ es una *-álgebra con unidad $c_0$ en $\mathbb C$ y $\mathcal K =\{c_0,c_1\dots,c_n\}$ es una base de $\mathcal A$ con $\mathcal K ^*=\mathcal K$ para las que las constantes de estructura $n_{ij}^k$ definido por $$c_ic_j=\sum_k n_{ij}^k c_k$$ cumplen las condiciones $c_i^*=c_j \iff n_{ij}^0>0$ y $c_i^*\neq c_j \iff n_{ij}^0 =0$ .

$(\mathcal K,\mathcal A)$ se denomina hermitiana si $c_i^*=c_i$ para todos $i$ conmutativa si $c_ic_j=c_jc_i$ para todos $i,j$ real si $n_{ij}^k\in \mathbb R$ para todos $i,j,k$ positivo si $n_{ij}^k\geq 0$ para todos $i,j,k$ y normalizado si $\sum_k n_{ij}^k =1$ para todos $i,j$ . Un hipergrupo es un hipergrupo generalizado que es a la vez positivo y normalizado (si se sustituye positivo por real se obtiene lo que se llama un hipergrupo con signo).

Pasando ahora a los hipergrupos canónicos, es fácil ver que asociado a cualquier hipergrupo se tiene uno nuevo donde la hiperoperación viene definida por $$c_i\circ c_j=\{c_k \quad | \quad n_{ij}^k\neq 0\}$$ y es en este sentido en el que deben considerarse canónicos, y si se acepta que los hipergrupos canónicos son importantes, entonces los no canónicos también lo son.

Todo lo anterior está escrito a partir del artículo de Wildberger "Finite commutative hypergroups and applications from group theory to conformal field theory", y permítanme añadir aquí para los que no puedan llegar al artículo una lista de objetos/teorías matemáticas mencionadas que están muy cerca del concepto de hipergrupo y que se han estudiado bajo una plétora de nombres diferentes: El trabajo de Kawada sobre las álgebras C, el trabajo de Levitan sobre los operadores de traslación generalizados, el trabajo de Brauer sobre los pseudogrupos, las álgebras de Hecke, los sistemas hipercomplejos (en referencia a Berezansky y Kalyushnyi, Vainermann), los paragrupos (Ocneanu), sectores de superselección (Doplicher, Haag y Roberts, Longo), álgebras de Bose Mesner, álgebras de Racah Wigner, álgebras centralizadoras, álgebras de tablas (Arad y Blau), esquemas de asociación y las reglas de fusión de las teorías de campos conformes (Verlinde, Moore y Seiberg). Puede consultar las referencias en el artículo.

Regímenes de asociación son, por ejemplo, hipergrupos que tienen renormalizaciones que pueden realizarse mediante $0,1$ -y son muy importantes en la combinatoria algebraica y la teoría de la codificación.

Answer 2

No soy muy experto en el uso de hiperestructuras. Hace meses encontré este paper de Viro en arxiv buscando Matemáticas tropicales.

1 - O. Viro-HIPERCAMPO PARA GEOMETRÍA TROPICAL I. HIPERCAMPOS Y DECUANTIZACIÓN

Esto es muy interesante porque trató de introducir el concepto básico de Mapas multivaluados y las estructuras formadas por ellos, ofreciendo una interesante cronología de términos y autores. Los conceptos básicos que introduce son:

• Operaciones multivaluadas
• Homomorfismos de multigrupos (h. normal y h. fuerte)

$f:M\rightarrow N$ es un homomorfismo multigorup de $(M,u_1,*_1)$ y $(M,u_2,*_2)$ si $f(u_1)=u_2$ y $f(a*_1 b)\subset f(a)*_2f(b)$

$f:M\rightarrow N$ es un homomorfismo multigorup fuerte si $f(a*_1 b)=f(a)*_2f(b)$

• Multigrupos/Hipergrupos (Conjuntos con multimapas binarias asociativas, identidad e inversas)
• Multirings (anillos en los que el grupo aditivo se sustituye por un multigrupo conmutativo)

En multirings la distibutividad se describe por el hecho de que las traslaciones izquierda y derecha de la operación multiplicativa son automorfismos (débiles)multigrupo del multigrupo aditivo

• Hyperrings (Multirings donde la distibutividad se mantiene de una manera fuerte- m. traslaciones son fuertes automorfismo multigrupo)
• Hipercampos/Multicampos (Multirings o Hyperrings con inversos multiplicativos)

Debido al Teorema de Marshall en cada Hipercampo la distributividad se mantiene de una manera fuerte por lo que Hipercampos y Multifields son la misma cosa.

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Sobre otros campos para estas estructuras algebraicas multivaluadas, Viro los utiliza para su trabajo en el Geometría tropical introducir algunas estructuras nuevas (hipercampos tropicales complejos y reales $\mathcal T\Bbb C$ y $\mathcal T\Bbb R$ y otras construcciones interesantes: véase 1 ).

Otro tipo de Hiperestructuras se estudian con otros fines, pero no puedo hacer una lista detallada. Pero aquí hay una interesante referencias históricas sobre Hipergrupo y Hipergroupoides .

P. Corsini - Historia y nuevas posibles direcciones de investigación de la hiperestructuras

Answer 3

La teoría de las hiperestructuras ha sido introducida por Marty en 1934 durante la 8ª inteligencia social, y las probabilidades.d axiomas en los que la adición es una hiperoperación, mientras que la multiplicación es una operación Posteriormente, este concepto ha sido estudiado por diversos autores. Se pueden encontrar algunas nociones principales de la teoría de los hiperrings en [17, 18, 26, 40, 42]. Otro tipo de hiperrings fue introducido por Rota en 1982 en el que la multiplicación es una hiperoperación, mientras que la suma es una operación, y es (para más detalles ver [35, 36, 37, 38]) que fue posteriormente investigado por Olson y Ward [28] y muchos otros. De Salvo [19] introdujo hiperrings en los que las sumas y las multiplicaciones son hiperoperaciones. Además, existe otro tipo de hiperrings en los que tanto la suma como la multiplicación son hiperoperaciones y en cambio la asociatividad, la conmutatividad y la distributividad se satisfacen en asociatividad débil, conmutatividad débil y distributividad débil, lo que se denomina Hv-hyperrings, este tipo de hiperrings puede verse en [41, 42]. Los hiperrings fueron introducidos y estudiados por Krasner [M.Krasner], Nakasis [Nakasis], Massourouce [Massourouce] y especialmente estudiados por Davvaz y Leoreanu-Fotea [DAvvaz-Leoreanu], Zahedi y Ameri [Zahedi-Ameri], Ameri y Norouzi [Ameri-Norouzi] . El estudio sobre las hiperestructuras en [Davvaz-Leoreanu] termina con un esbozo de aplicaciones en química y física, analizando varios tipos especiales de hiperestructuras: las hiperestructuras e y los hipergrupos de transposición. La teoría de hiperestructuras modificadas adecuadas pueden servir como base matemática en el campo de los sistemas de comunicación cuántica. comunicación cuántica. Un tipo bien conocido de hiperring, llamado hiperring de Krasner [23]. Los hiper perrings son esencialmente hyperrings, con aproximadamente modie Congreso de los Matemáticos Escandinavos [Marty]. Marty introdujo los hipergrupos como una generalización de los grupos. Publicó algunas notas sobre hipergrupos, utilizándolos en diferentes contextos como funciones algebraicas, fracciones racionales, grupos no conmutativos y después muchos investigadores han trabajado en este nuevo campo del álgebra moderna y lo han desarrollado. Más tarde se observó que la teoría de las hiperestructuras tiene muchas aplicaciones tanto en ciencias puras como aplicadas; por ejemplo, los semihipergrupos son las hiperestructuras algebraicas más sencillas que poseen las propiedades de cierre y asociatividad. La teoría de las hiperestructuras ha sido ampliamente revisada [P.Corsini, P. Corsini y V-Leoreanu, B. Davvaz y V. Leoreanu-Fotea, T. Vougiouklis]. En [P. Corsini & V. Leoreanu-Fotea] Corsini y Leoreanu-Fotea han recogido numerosas aplicaciones de las hiperestructuras algebraicas, especialmente las de los últimos quince años a los siguientes temas: geometría, hipergrafías, relaciones binarias, celosías, conjuntos difusos y conjuntos aproximados, autómatas, criptografía, códigos, álgebras medianas, álgebras de relaciones, álgebras artificiales, etcétera.
Hoy en día las hiperestructuras han crecido rápidamente. Yo, como investigador en este campo, estoy interesado en la aplicación de estos temas a otras ramas de las matemáticas, la física y la ingeniería. Le agradecería que me informara al respecto.

Referencias [R. Ameri1] R. Ameri, On Categories of hypergroups and hypermodules, Journal of Discrete Mathematical Science and and Cryptography, 6, 2-3 (2003) 121-132. [R-Ameri2] R. Ameri, M. Norouzi, On multiplication (m; n)-hypermodules, European Journal of Combinatorics, 44 (2015) 153-171. [R-Ameri3] R. Ameri, M. Norouzi, New fundamental relation of hyperrings, European Journal of Combinatorics, 34 (2013) 884{891. [R-Ameri4] R. Ameri, M. Norouzi, Prime and primary hyperideals in Krasner , European Journal of Combinatorics, 34 (2013) 379-390. [R-Ameri5] R. Ameri, I. G. Rosenberg, Congruences of multialgebras, Multivalued Logic and Soft Computing, Vol. 15, No. 5-6 (2009) 525-536. [R-Ameri6] R. Ameri, M.M. Zahedi, Hyperalgebraic systems, Italian Journal of Pure and Applied Mathematics, n.º 6 (1999) 21-32.

[P. Corsini] P. Corsini, Prolegómenos de la teoría de hipergrupos, Segunda ed., Aviani Editore, 1993. [P. Corsini], V. Leoreanu] P. Corsini, V. Leoreanu,Applications of hyperstructures theory, Adv. Math., Kluwer Academic Publishers, 2003.

[G.Massouros] C.G. Massouros, On the theory of hyperrings and hyperelds, Algebra i Logika, 24(1985) 728-742. [J. Mittas] J. Mittas, Hypergroups canoniques , Mathemaica Balkanica 2 (1972) 165-179. [A. Nakassis] A. Nakassis, Expository and Survey Article Recent Result in hyperring and Hyperfield Theory, Internet. J. Math and Math. Sci, Vol. 11, No. 2 (1988) 209- 220. [D.M. Olson] D.M. Olson y V.K. Ward,A note on multiplicative hyperrings, Italian J. Pure Appl.Math., 1 (1997) 77-84. [T. Vougioklis] T. Vougiouklis, Hyperstructures and Their Representations, vol. 115, Hadronic Press, Inc., Palm Harber, EE.UU., 1994.

Answer 4

Curiosamente, la estructura de hipergrupo aparece de forma natural en la teoría de la probabilidad, más concretamente en el estudio de los núcleos de Markov, donde explica la no negatividad de algunas cantidades naturales

Dominique Bakry y Nolwen Huet: La propiedad hipergrupo y la representación de los núcleos de Markov

Answer 5

Las siguientes referencias son útiles:

[1] http://arxiv.org/pdf/1008.0772.pdf

[2] Bijan Davvaz, Vileta Leoreanu-Fotea, Hyperring theory and applications,International Academic Press, EE.UU., 2007.

[3]