probabilidad de que tres personas lancen un dado

Question

Hay 3 jugadores, A, B, C, que se turnan para lanzar un dado en el orden ABCABC....

¿Cuál es la probabilidad de que A sea el primero en sacar un 6, B sea el segundo y C sea el tercero?

La respuesta dice que es 216/1001, pero yo siempre obtengo 125/1001.

La forma en que lo hice fue:
Sea $X_1$ = número de tiradas hasta que A saque un 6
$X_2$ = número de tiradas hasta que B saque un 6
$X_3$ = número de tiradas hasta que C saque un 6
$P(X_1=i)=\frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{i-1}$
$P(X_2=j)=\frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{j-1}$
$P(X_3=k)=\frac{1}{6} (\frac{5}{6})^{k-1}$
por lo tanto, $P$ (A es el primero en lanzar un 6, B es el segundo y C es el tercero)
$=P(X_1 < X_2 < X_3) $ = $\sum_{i<j<k}^{ } (\frac{1}{6})^3 (\frac{5}{6} )^{(i-1)+(j-1)+(k-1)} $
$= (\frac{1}{6})^3 \sum_{i<j}^{ } (\frac{5}{6} )^{(i-1)+(j-1)} \sum_{k=j+1}^{\infty } (\frac{5}{6} )^{k-1} $
$ = (\frac{1}{6})^3 \sum_{i<j}^{ } (\frac{5}{6} )^{(i-1)+(j-1)} \frac{(\frac{5}{6})^{j}} {1-\frac{5}{6}} $
$ =(\frac{1}{6})^2 \sum_{i<j}^{ } (\frac{5}{6} )^{(i-1)+(j-1)+j}$
$ =(\frac{1}{6})^2 \sum_{i}^{ }(\frac{5}{6} )^{(i-1)}\sum_{j=i+1}^{\infty} (\frac{5}{6} )^{2j-1}$
$ =(\frac{1}{6})^2 \sum_{i}^{ }(\frac{5}{6} )^{(i-1)} \frac{(\frac{5}{6})^{2i+1}} {1-\frac{5}{6}} $
$ =(\frac{1}{6}) \sum_{i}^{ }(\frac{5}{6} )^{(i-1)+2i+1}$
$ =(\frac{1}{6}) \sum_{i=1}^{\infty }(\frac{5}{6} )^{3i}$
$=\frac{125}{546}$

¿Alguien podría ayudarme a comprobar dónde me he equivocado? Muchas gracias.

Answer 1

Como van en el orden A,B,C, quieres $\sum_{i\le j\le k}$ .

Detalle: Queremos $$\sum_{0\le i\le j\le k}(5/6)^i(5/6)^j(5/6)^k(1/6)^3.$$ Suma de $k=j$ à $\infty$ obtenemos $$\sum_{0\le i\le j}(1/6)^2(5/6)^i (5/6)^{2j}.$$ La suma con respecto a $j$ produce $$\sum_{0\le i} (5/6)^{3i},$$ que es $\frac{6^3}{(11)(91)}$ .

Answer 2

Puedes evitar por completo las sumas infinitas si utilizas un argumento condicionante.

Sea $X_1$ , $X_2$ y $X_3$ sean los tiempos de los seis primeros para cada uno de los tres jugadores.

Primero examinamos el juego de dos hombres. Veamos $q=\mathbb{P}(X_2<X_3)$ . Por análisis de primer paso, tenemos $q={1\over 6}+\left({5\over 6}\right)^2q$ Así que $q={6\over 11}$ .

Para el juego completo de tres hombres, que $p=\mathbb{P}(X_1<X_2<X_3)$ , El análisis del primer paso da $p={1\over 6}q+\left({5\over 6}\right)^3p$ , o ${91\over 216} p={1\over 11}$ . Por último, esto significa $p={216\over 1001}$ .