Todo lo que se sabe sobre la serie $\sum_p \frac{1}{2^p}$ ¿Sumando sobre los primos?

Question

¿Se sabe algo de esta suma?

$$\sum_{\text{prime}\;p} \frac{1}{2^p}$$

He calculado que converge, pero no puedo determinar si la siguiente suma relacionada puede continuarse analíticamente fuera del círculo unitario:

$$\sum_{\text{prime}\;p} z^{p}$$

Answer 1

Sólo abordaré la segunda parte de la pregunta sobre $\sum\limits_{p \text{ prime}} z^p$ .

Hay un resultado de Pólya y Carlson.

Dada cualquier serie de potencias $f(z) = \sum\limits_{k=0}^\infty a_k z^k$ con coeficientes enteros y radio de convergencia $1$ entonces $f(z)$ es una función racional o tiene el círculo unitario $|z| = 1$ como límite natural .

Para la serie que nos ocupa

$$f(z) = \sum\limits_{p \text{ prime}} z^p = \sum_{k=0}^\infty a_k z^k \quad\text{ where }\quad a_k = \begin{cases} 1, & p \text{ is prime}\\ 0, & \text{ otherwise }\end{cases}$$ Es trivial ver que su radio de convergencia es $1$ . Si $f(z)$ es racional, digamos $f(z) = \frac{p(z)}{q(z)}$ para polinomios $p(z)$ y $q(z)$ entonces $f(z)q(z) = p(z)$ también es polinómica.

WOLOG, asume $q(z)$ tiene la forma $$q(z) = 1 + b_1 z + \cdots + b_n z^n \quad\text{ where } n = \deg(q)$$ Sustituye esto en la expresión $f(z)q(z) = p(z)$ y comparar los coeficientes de $z^{k+n}$ en ambos lados, obtenemos

$$a_{k+n} + b_1 a_{k+n-1} + \cdots + b_n a_k = 0,\quad \text{ whenever }\quad k+n > \deg(p)$$

Una consecuencia de esto es que si $a_k$ tiene infinitos términos distintos de cero, entonces aparte de la inicial $\deg(p)$ la diferencia entre dos términos cualesquiera distintos de cero es como máximo $n-1$ . Se sabe que hay infinitos números primos y que los huecos primos pueden ser tan grandes como se quiera. Esto implica que $f(z)$ no es racional.

Por Pólya y Carlson, $\sum\limits_{p \text{ prime}} z^p$ tiene como límite natural el círculo unitario. En otras palabras, no puede continuarse analíticamente fuera del disco unitario de ninguna manera.

Answer 2

Lo principal es saber que $x > 0$ y por continuación analítica para $\Re(x) > 0$ $$f(x) = \sum_{p^k} \log(p) e^{-x p^k}, \qquad \Gamma(s) \frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)} = \int_0^\infty f(x)x^{s-1}dx$$

$$f(x) = \frac1{2i\pi} \int_{2-i\infty}^{2+i\infty}\Gamma(s) \frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)} x^{-s}ds = \sum Res(\Gamma(s) \frac{-\zeta'(s)}{\zeta(s)} x^{-s})$$ $$= x^{-1}- \sum_\rho \Gamma(\rho) x^{-\rho}+\sum_{k=0}^\infty x^k(a_k+b_k \log(x))$$

$f$ es muy interesante sobre todo porque $f(x+2 i \pi \frac{a}{q})$ tiene una fórmula explícita similar en términos de $\frac{L'(s,\chi)}{L(s,\chi)}$ para los caracteres de Dirichlet módulo $q$ por lo que codifica la hipótesis de Riemann generalizada.

$\sum_{p^k}\frac1k e^{-xp^k},\sum_p e^{-xp}$ funcionan de la misma manera excepto $\Gamma(s) \log\zeta(s),\Gamma(s)P(s)$ no son meromorfas, por lo que sus fórmulas explícitas son más complicadas.