¿Son equivalentes las distintas versiones de homogéneo?

Question

Considere estas dos definiciones:

Definición 1. Un espacio topológico $X$ se denomina homogénea si para cualquier $x,y\in X$ existe un homeomorfismo $f:X\to X$ tal que $f(x)=y$ .

Definición 2. Un espacio topológico $X$ se denomina homogéneo si existe un grupo topológico $G$ actuando de forma continua y transitoria sobre $X$ .

Por supuesto, la definición 2 implica la 1. La cuestión es si 1 implica 2. La opción natural es considerar $Homeo(X)$ con topología compacta-abierta. Sin embargo $Homeo(X)$ no tiene por qué ser un grupo topológico. Esto se cumple cuando $X$ es Hausdorff compacto o cuando $X$ es Hausdorff localmente compacta, localmente conectada. Pero en general hay ejemplos de $X$ donde el operador inverso en $Homeo(X)$ no es continua.

Sin embargo, esto no implica que no exista ningún otro grupo topológico que actúe de forma continua y transitiva sobre $X$ . ¿Es cierto? ¿O hay algún contraejemplo?

Answer 1

Para 2 a 1 tenemos un grupo topológico $G$ actuar en nuestro espacio $X$ es decir, existe un mapa continuo $G \times X \rightarrow X$ . Precomponiendo con los morfismos $(g,\operatorname{id}):* \times X \rightarrow G \times X$ nos da automorfismos de $X$ y la transitividad de la acción se traduce directamente en las condiciones sobre los automorfismos.

A la inversa, para 1 a 2 observamos que el grupo ordinario $\operatorname{Aut}(X)$ actúa siempre sobre $X$ . Pero identificando grupos ordinarios con grupos topológicos discretos esto equivale a tener un mapa continuo $$\begin{array}{rcl}\operatorname{Aut}(X)_\text{disc} \times X & \longrightarrow & X\\ (\phi, x) & \mapsto & \phi(x) \end{array}$$ Este mapa es efectivamente continuo, ya que dado un subconjunto abierto $U \subseteq X$ su preimagen adopta la forma $\bigcup\limits_{\phi\in\operatorname{Aut}(X)} \{\phi\}\times\phi^{-1}(U)$ que está abierto. Ahora de nuevo las condiciones sobre los automorfismos se traducen en transitividad de la acción.