La regla de L'Hospital no converge para una función con raíz cuadrada

Question

Estaba tratando de encontrar el límite de una función de la forma $\frac{x}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}$ . Cuando aplico la regla de L'Hospital y diferencio el numerador y el denominador, después de la simplificación termino con la misma forma con la que empecé:

$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x+a)(x+b)}} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\frac{1}{2} \frac{(2x+a+b)}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}} = \frac{2\sqrt{(x+a)(x+b)}}{2x+a+b} = \frac{\frac{2x+a+b}{\sqrt{(x+a)(x+b)}}}{2} \\ = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x+a)(x+b)}} \textrm{(because $ \...de x a infty... \frac{a+b}{\sqrt{...}} $ is zero)}$$

Me he dado cuenta de que si lo resuelvo calculando el límite del valor al cuadrado, la solución es fácil: $$L^2 = \lim_{x \to \infty} \frac{x^2}{(x+a)(x+b)} \\ L^2 = \lim_{x \to \infty} \frac{2x}{2x+b+c} = 1 \\ L = \sqrt{1} = 1$$

Antes de encontrar esta solución, estuve buscando en Internet distintas formas de evaluar límites y aplicar la regla de L'Hospital, pero ninguno de los recursos que encontré parece cubrir este caso. ¿Me estoy perdiendo otra forma sencilla de resolver esto (ya sea utilizando la regla de L'Hospital o no)? ¿Cuándo no converge la regla de L'Hospital y qué significa cuando lo hace?

Answer 1

Dejando a un lado la regla de L'Hopital, la forma más sencilla de resolver el límite sería multiplicar tanto el numerador como el denominador por $\frac1x$ :

$$L = \lim_{x \to \infty} \frac{x}{\sqrt{(x+a)(x+b)}} = \lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\frac {(x+a)(x+b)}{x^2}}}=\lim_{x \to \infty} \frac{1}{\sqrt{\left(1+\frac ax\right)\left(1+\frac bx\right)}}=1$$