Tengo un teorema en mi libro (en el contexto del método de separación de variables) que no entiendo del todo:
Supongamos que $g=g(x)$ es continua en $(a, b)$ y $h=h(y)$ es continua en $(c, d)$ . Sea $G$ sea una antiderivada de $g$ en $(a, b)$ y que $H$ sea una antiderivada de $h$ en $(c, d)$ . Sea $x_0$ sea un punto arbitrario en $(a, b)$ y que $y_0$ sea un punto arbitrario en $(c, d)$ tal que $h(y_0) \not = 0$ , $$ c=H(y_0)-G(x_0) \label{1}\tag{1} $$ Entonces hay una función $y=y(x)$ definida en algún intervalo abierto $(a_1, b_1)$ donde $a \le a_1 \lt x_0 \lt b_1 \le b$ tal que $y(x_0)=y_0$ a $$ H(y)=G(x)+c \label{2}\tag{2} $$ para $a_1<x<b_1$ . Por lo tanto $y$ es una solución de la ini \begin{align} h(y)y'&=g(x), \\ y(x_0) &=y_0 \label{3}\tag{3} \end{align} Es conveniente decir que $\eqref{2}$ con $c$ es una solución implícita de $h(y)y'=g(x)$ . Si $c$ satisface $\eqref{1}$ diremos que $\eqref{2}$ es una solución implícita del problema de valor inicial $\eqref{3}$ . Sin embargo, tenga en cuenta que para algunas opciones de $c$ puede haber o no funciones diferenciables que satisfagan $\eqref{2}$ .
Creo que no entiendo muy bien lo que dice este teorema. Mi comprensión del teorema es la siguiente: Si tienes cualquier función $g$ diferencialbe en algún lugar y cualquier función $h$ diferenciable en algún lugar entonces puede transformar $H$ en $G$ más una constante simplemente introduciendo un $y(x)$ en $H$ lo que implica que se puede transformar cualquier función en cualquier otra función eligiendo una entrada adecuada. Esto parece erróneo, por lo que creo que mi interpretación no es correcta en este caso.
Ni siquiera veo por qué es realmente necesario este teorema. El libro lleva resolviendo problemas de separación de variables desde antes de este teorema encontrando $H(y)$ y $G(x)$ tal que $H'(y)=h(y)$ y $G'(x)=g(x)$ . Esta es mi primera clase de EAD así que por favor intenta mantener las respuestas a un nivel apropiado.
