Brion & Kumar ["Frobenius splitting methods in geom. and rep. thy" Birkhauser 2005] llaman al endomorfismo absoluto de endomorfismo de Frobenius el mapeo F_{abs}:X \to X que es la identidad en X y con comorfismo dado cuando X = \operatorname{Spec}(A) es afín por la regla (f \mapsto F_{abs}^*(f) = f^p):A \to A .
No se trata de un morfismo "sobre k "desde F^*:A \to A es "semilineal" para el endomorfismo de Frobenius de k (= automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de k si k es perfecto).
En Jantzen ["Representaciones de grupos algebraicos", 2ª edición] 9.1 y 9.2, describe el mapa absoluto de Frobenius - es "el mismo" que el descrito por B&K, excepto que el codominio se "retuerce" para hacer F un morfismo sobre k . Para X = \operatorname{Spec}(A) esta tergiversación equivale a: X^{(p)} = \operatorname{Spec}(A^{(p)}) donde el k -álgebra A^{(p)} es A como un anillo, sino un elemento a \in k actúa sobre A^{(p)} como a^{p^{-1}}= a^{1/p} hace el A .
Frobenii geométricos y aritméticos sólo tienen sentido (creo) cuando X se "define sobre" un campo finito; aquí supondré que X se define sobre \mathbf{F}_p . E incluso voy a suponer X surge por cambio de base a k de la afinidad k_0 = \mathbf{F}_p -esquema X_0 = \operatorname{Spec}(A_0) (si no, ¡parche!).
Entonces X = \operatorname{Spec}(A) donde A = A_0 \otimes_{k_0} k . En Frobenius aritmético mapa en X es el k_0 -morfismo F_{arith}:X \to X cuyo comorfismo viene dado por (f \otimes a \mapsto f \otimes a^p):A = A_0 \otimes_{k_0} k \to A = A_0 \otimes_{k_0} k para f \in A_0 y a \in k .
Por lo tanto, el conjunto de k_0 -señala X_0(k_0) es el conjunto de puntos de X(k) fijado por el Frobenius aritmético F_{arith} es decir, la acción de F_{arith} en puntos sólo da el acción "habitual" del elemento de Frobenius del grupo de Galois sobre puntos racionales (aquí debo estar suponiendo k ser perfecto...)
En Frobenius geométrico de X es el k -morfismo F_{geom}:X \to X cuyo comorfismo viene dado por (f \otimes a \mapsto f^p \otimes a):A = A_0 \otimes_{k_0} k \to A = A_0 \otimes_{k_0} k. Si eliges una incrustación X \subset \mathbf{A}^N definido en k_0 entonces F_{geom} se da en k -en estas coordenadas mediante F_{geom}(x_1,\dots,x_N) = (x_1^p,\dots,x_N^p) .
Los Frobenius aritmético y geométrico se definen (brevemente) en Jantzen ( loc. cit. ).
Tenga en cuenta que F_{arith} \circ F_{geom} = F_{geom} \circ F_{arith} es el "Frobenius absoluto" de B&K mencionado anteriormente.
Véase también "Lectures on Etale Cohomology" de Milne 29.11 para una discusión que reconcilia los teóricos de los números con su acción del automorfismo de Frobenius \phi=(x \mapsto x^p) en el grupo Tate T_\ell E de una curva elíptica definida sobre k_0 y los geómetras algebraicos con su acción de F_{geom} en H^1(E,\mathbf{Z}_\ell) .