Brion & Kumar ["Frobenius splitting methods in geom. and rep. thy" Birkhauser 2005] llaman al endomorfismo absoluto de endomorfismo de Frobenius el mapeo $F_{abs}:X \to X$ que es la identidad en $X$ y con comorfismo dado cuando $X = \operatorname{Spec}(A)$ es afín por la regla $(f \mapsto F_{abs}^*(f) = f^p):A \to A$ .
No se trata de un morfismo "sobre $k$ "desde $F^*:A \to A$ es "semilineal" para el endomorfismo de Frobenius de $k$ (= automorfismo de Frobenius en el grupo de Galois de $k$ si $k$ es perfecto).
En Jantzen ["Representaciones de grupos algebraicos", 2ª edición] 9.1 y 9.2, describe el mapa absoluto de Frobenius - es "el mismo" que el descrito por B&K, excepto que el codominio se "retuerce" para hacer $F$ un morfismo sobre $k$ . Para $X = \operatorname{Spec}(A)$ esta tergiversación equivale a: $X^{(p)} = \operatorname{Spec}(A^{(p)})$ donde el $k$ -álgebra $A^{(p)}$ es $A$ como un anillo, sino un elemento $a \in k$ actúa sobre $A^{(p)}$ como $a^{p^{-1}}= a^{1/p}$ hace el $A$ .
Frobenii geométricos y aritméticos sólo tienen sentido (creo) cuando $X$ se "define sobre" un campo finito; aquí supondré que $X$ se define sobre $\mathbf{F}_p$ . E incluso voy a suponer $X$ surge por cambio de base a $k$ de la afinidad $k_0 = \mathbf{F}_p$ -esquema $X_0 = \operatorname{Spec}(A_0)$ (si no, ¡parche!).
Entonces $X = \operatorname{Spec}(A)$ donde $A = A_0 \otimes_{k_0} k$ . En Frobenius aritmético mapa en $X$ es el $k_0$ -morfismo $F_{arith}:X \to X$ cuyo comorfismo viene dado por $$(f \otimes a \mapsto f \otimes a^p):A = A_0 \otimes_{k_0} k \to A = A_0 \otimes_{k_0} k$$ para $f \in A_0$ y $a \in k$ .
Por lo tanto, el conjunto de $k_0$ -señala $X_0(k_0)$ es el conjunto de puntos de $X(k)$ fijado por el Frobenius aritmético $F_{arith}$ es decir, la acción de $F_{arith}$ en puntos sólo da el acción "habitual" del elemento de Frobenius del grupo de Galois sobre puntos racionales (aquí debo estar suponiendo $k$ ser perfecto...)
En Frobenius geométrico de $X$ es el $k$ -morfismo $F_{geom}:X \to X$ cuyo comorfismo viene dado por $$(f \otimes a \mapsto f^p \otimes a):A = A_0 \otimes_{k_0} k \to A = A_0 \otimes_{k_0} k.$$ Si eliges una incrustación $X \subset \mathbf{A}^N$ definido en $k_0$ entonces $F_{geom}$ se da en $k$ -en estas coordenadas mediante $$F_{geom}(x_1,\dots,x_N) = (x_1^p,\dots,x_N^p)$$ .
Los Frobenius aritmético y geométrico se definen (brevemente) en Jantzen ( loc. cit. ).
Tenga en cuenta que $F_{arith} \circ F_{geom} = F_{geom} \circ F_{arith}$ es el "Frobenius absoluto" de B&K mencionado anteriormente.
Véase también "Lectures on Etale Cohomology" de Milne 29.11 para una discusión que reconcilia los teóricos de los números con su acción del automorfismo de Frobenius $\phi=(x \mapsto x^p)$ en el grupo Tate $T_\ell E$ de una curva elíptica definida sobre $k_0$ y los geómetras algebraicos con su acción de $F_{geom}$ en $H^1(E,\mathbf{Z}_\ell)$ .
