En un anillo de RR con la unidad, cada elemento puede ser escrito como el producto de un número finito de idempotents. Se puede mostrar que el anillo es conmutativo?
Respuesta
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Lema 1: La unidad sólo es la identidad.
Si ee es la de la izquierda idempotente en la factorización de una unidad deuu, (1−e)u=0(1−e)u=0 implica 1−e=01−e=0e=1e=1. Después de un número finito de pasos que hemos probado en u=1u=1.
Lema 2: El anillo es reducido, es decir, no tiene un valor distinto de cero nilpotent elementos. La única nilpotent elemento es 00.
Si xx es nilpotent, a continuación, 1−x1−x es una unidad, y que debe ser 11 por el primer lema. Por lo tanto x=0x=0.
Lema 3: Idempotents en una reducción del anillo conmutan con todos los elementos.
Para cualquier r∈Rr∈R ambos er−ereer−ere re−erere−ere plaza a cero, por lo que son ambos cero, y er=ere=reer=ere=re.
La prueba de el post original:
todo es un producto de idempotents, todo lo cual conmuta con cada uno de los otros, de modo que el anillo es conmutativo. Además, cada producto de los desplazamientos idempotents es idempotente, por lo que podemos concluir que el anillo es un anillo Booleano.
