Tanto David Ben-Zvi como Jeffrey Giansiracusa han dado respuestas excelentes, por lo que sólo completaré algunas partes que con Douglas Rizzolo hemos trabajado basándonos en sus sugerencias. Además, a efectos de esta respuesta, evitaré casi todas las cuestiones de análisis. Así que, aunque creo que sé cómo decir parte de lo que quiero decir de forma más general, tomaré como categoría "geométrica" la categoría $\text{FinSet}$ de finito conjuntos. El último descargo de responsabilidad es que no mencionaré el mapa "inverso": en lugar de groupoides, describiré la construcción para objetos de categoría; en lugar de álgebras de Hopf, tendré bialgebras; no habrá una estructura C-star. No obstante, utilizaré la abreviatura "groupoide"/"Hopf"/... en lugar de "objeto de categoría"/"bialgebra"/...
Álgebras de grupoides
Así, abusando del lenguaje, un groupoide es un conjunto finito $C_0$ un conjunto finito $C_1$ Mapas $i: C_0 \to C_1$ y $s,t: C_1 \to C_0$ tal que $s\circ i = t\circ i = \operatorname{id}$ y un mapa de composición $m: C_1 \underset{C_0}\times C_1 \to C_1$ que satisface una serie de ecuaciones. La forma abreviada de decir todo esto es decir "álgebra en la categoría de tramos de $C_0$ a $C_0$ ". Denotaré un groupoide genérico por $C = \{C_1 \rightrightarrows C_0\}$ . He trabajado precisamente con tres ejemplos:
- Cualquier conjunto $M$ es un grupoide $M = \{M \rightrightarrows M\}$ donde todos los mapas son identidades.
- Cualquier grupo $G$ es un grupoide $\text{pt}/G = \{G \rightrightarrows \text{pt}\}$ donde los mapas son lo único que pueden ser.
- El groupoide "relación de equivalencia $n/n = \{n^2 \rightrightarrows n\}$ tiene $n$ objetos y para cada par de objetos un morfismo único. Es equivalente a $\text{pt}$ .
Fijar un campo $\mathbb K$ y que $\text{FinVect}$ denotan la categoría de dimensiones finitas $\mathbb K$ -espacios vectoriales. Recordemos el functor de "linealización" $\mathbb K: \text{FinSet} \to \text{FinVect}$ que toma un conjunto $S$ al espacio vectorial $\mathbb KS$ que tiene $S$ como base (distinguida). Este functor preserva los colímitos (siendo adjunto a $\text{forget}$ ) y lleva los productos a productos tensoriales.
Para cualquier groupoide $C = \{C_1 \rightrightarrows C_0\}$ definimos el álgebra de funciones sobre $C$ el espacio vectorial $\mathbb K C_1$ con la multiplicación determinada por la multiplicación en $C$ . Más concretamente, si $a,b \in C_1$ son elementos de base, fijamos su multiplicación en $\mathbb K C_1$ ser: $$ab = \begin{cases} ab \in C_1, & s(a) = t(b), \\ 0 ,& \text{otherwise.} \end{cases}$$ En los tres ejemplos anteriores:
- El "álgebra de funciones sobre $M$ "es el álgebra de las funciones $M \to \mathbb K$ con multiplicación puntual.
- El "álgebra de funciones sobre $\text{pt}/G$ " es el "álgebra de grupo" $\mathbb K G$ .
- El "álgebra de funciones sobre $n/n$ "es el álgebra matricial $\operatorname{Mat}(n,\mathbb K)$ . Es Morita equivalente a $\mathbb K$ .
Un "haz vectorial" o "gavilla" en un groupoide $C$ es precisamente una representación de $\mathbb KC_1$ . Mi objeción anterior era que como álgebras, si $G$ es abeliano con dual de Pontryagin $\hat G$ entonces como álgebras las álgebras de funciones sobre $\text{pt}/G$ y en $\hat G$ son iguales, cuando éstas son diferentes como gavillas.
Estructura del lúpulo
David Ben-Zvi insinuó que lo que distingue a las álgebras de funciones sobre $\text{pt}/G$ y $\hat G$ es la estructura tensorial de sus categorías de láminas. La noción siguiente se debe a Xiang Tang, Alan Weinstein y Chenchang Zhu, Álgebras de lúpulo 2008, arXiv:math/0510421v2 . (En realidad, descategorizan, considerando sólo las clases de isomorfismo de los bimódulos; yo describiré la versión correcta, que presumiblemente es la que querían en secreto pero temían escribir. Además, seguiré ignorando las antípodas). A álgebra del lúpulo es:
- A $\mathbb K$ -álgebra $A$ ,
- un bimódulo ${_A \Delta _{A\otimes A}}$ ,
- y un isomorfismo de "asociatividad" ${_A \Delta_{A\otimes A}} \underset{A\otimes A}\otimes ({_A A _A} \otimes {_A \Delta_{A\otimes A}}) \overset{\phi}\to {_A \Delta_{A\otimes A}} \underset{A\otimes A}\otimes ( {_A \Delta_{A\otimes A}}\otimes{_A A _A} )$ ,
- tal que $\phi$ satisface un pentágono.
Acuñando algunas palabras, un álgebra de lúpulo es conmutador si existe un isomorfismo ${_A \Delta _{A\otimes A}} \to {_A \Delta^{\rm flip} _{A\otimes A}}$ donde ${_A \Delta^{\rm flip} _{A\otimes A}}$ es el módulo $\Delta$ con la acción de los dos $A$ s a la derecha volteado, que es una involución y satisface (con $\phi$ ) dos hexágonos.
La idea es la siguiente. Si $A$ es un álgebra de modo que la categoría $_A\operatorname{mod}$ de izquierda $A$ -tiene un $\mathbb K$ -lineal cocontinua monoidal, entonces esta estructura hace que $A$ lúpulo. Dada una estructura hopfish, la estructura monoidal correspondiente es: $$_A\bigl((_A X) \underset{\Delta}\otimes (_AY) \bigr) \overset{\rm def}= {_A \Delta _{A\otimes A}} \underset{A\otimes A}\otimes ({_AX}\underset{\mathbb K}\otimes {_AY})$$
Los tres ejemplos anteriores son naturalmente peces lúpulo.
- Cualquier anillo conmutativo $R$ es hopfish, con el bimódulo dado como la "comodulación" del mapa de multiplicación $R \otimes R \to R$ (un homomorfismo de álgebra si $R$ es conmutativo), es decir, el bimódulo es $_R R _{R\otimes R}$ donde la acción de la derecha es obvia y la de la izquierda es "multiplicar y actuar". Cuando $R$ es el álgebra de funciones sobre un conjunto $M$ entonces la estructura monoidal correspondiente en láminas es el producto tensorial "punto por punto" o "fibra por fibra".
- Un álgebra de grupo $\mathbb K G$ es hopfish con el bimódulo dado por la "modulación" del homomorfismo del álgebra de "duplicación" $\mathbb K G \to \mathbb K G \otimes \mathbb K G$ dado sobre una base por $g \mapsto g\otimes g$ . Es decir, el bimódulo es $_{\mathbb K G} {\mathbb K G \otimes \mathbb K G} _{\mathbb K G \otimes \mathbb K G}$ donde la acción de la izquierda es obvia y la de la derecha viene dada por el homomorfismo de duplicación. La estructura monoidal correspondiente en las láminas es la estructura tensorial habitual en $G$ -representaciones.
- Las estructuras Hopfish están diseñadas para comportarse bien ante la equivalencia de Morita. La equivalencia de Morita entre $\operatorname{Mat}(n,\mathbb K)$ y $\mathbb K$ viene dada por $\mathbb K^{\oplus n}$ con las acciones obvias. Empujar la estructura de hopfish en $\mathbb K$ a través de esta equivalencia de Morita da el bimódulo: $$_{\operatorname{Mat}(n)} {\operatorname{Mat}(n\times n^2)} _{\operatorname{Mat}(n^2) = \operatorname{Mat}(n) \otimes \operatorname{Mat}(n)}$$
De hecho, los tres ejemplos se derivan de una construcción general que describiré a continuación.
Sea $C = \{C_1 \rightrightarrows C_0\}$ sea un grupoide y $A = \mathbb K C_1$ el álgebra de funciones correspondiente. Como espacio vectorial, $\Delta = \mathbb K ( C_1 { \underset{^t{C_0}^t}\times} C_1)$ está formada por pares $(g,h)$ de morfismos con el mismo objetivo. Identificación de la base de $A\otimes A$ como todos los pares de morfismos $(x,y)$ la estructura bimodular es: $$ a \cdot (g,h) \cdot (x,y) = (agx,ahy) $$ con la convención de que si alguna multiplicación no es componible, todo el par es $0$ . Esto determina una acción. El isomorfismo de asociatividad proviene de identificar ambos lados con el espacio abarcado por triples de flechas con el mismo objetivo. Esta álgebra de hopfish es siempre conmutativa, cambiando $(g,h) \mapsto (h,g)$ .
En dibujos animados, $\mathbb K C_0 = \{\bullet\}$ , $\mathbb K C_1 = \{\leftarrow\}$ y $\Delta = \{ \rightarrow \bullet \leftarrow\}$ .
Extensión a un 2-functor
Sea $C = \{ C_1 \rightrightarrows C_0\}$ sea un grupoide. A izquierda $C$ -set es un functor $C \to \text{FinSet}$ o, más exactamente, una flecha $C_0 \leftarrow S$ y una acción $C_1 \underset{C_0}\times S \to S$ satisfaciendo una plaza obvia. Si $C,D$ son dos groupoides, a dorsal es un diagrama $C_0 \leftarrow S \rightarrow D_0$ con acciones conmutativas $C_1 \underset{C_0}\times S \underset{D_0}\times D \to S$ .
Debe quedar bastante claro que si $S$ es una izquierda $C$ -set, entonces $\mathbb K S$ es una izquierda $\mathbb K C_1$ -y similar a la derecha, de modo que la linealización lleva los biblios a bimódulos. Además, debe quedar claro que $\mathbb K : \underset{C_0}\times \to \underset{\mathbb K C_1}\otimes$ y que los morfismos de biblios van a morfismos de bimódulos. Así, la linealización es un 2-functor de $\text{Gpoid}$ a $\text{Alg}$ . De hecho, cae dentro de la subcategoría 2 de álgebras conmutativas de hopfish.
En particular, el álgebra de hopfish correspondiente a un groupoide, considerado hasta la equivalencia de Morita, da un invariante de la pila representada por dicho groupoide.
Otras preguntas
Hay en gran medida dos cuestiones que me gustaría entender en la construcción.
- Si nuestros groupoides consisten en espacios topológicos, entonces tomar "combinaciones lineales de puntos" puede no ser lo correcto, ya que ignora la topología. Pero ya no es correcto identificar, como espacios vectoriales, $\mathbb K S$ con el álgebra de, digamos, funciones continuas sobre $S$ . En particular, si $G$ es un grupo de Lie compacto, entonces el álgebra de funciones sobre $\text{pt}/G$ debería ser un "álgebra de convolución" para $G$ y, en particular, los elementos del álgebra de convolución no son funciones, sino distribuciones. No sé cómo decir tales palabras cuando me alejo de las variedades, pero es de suponer que los algebristas de la estrella C sí lo saben.
- En ningún sitio he utilizado la antípoda. En Op. cit. La definición de lo que he llamado "álgebra de Hopfish" (lo que ellos llaman "álgebra sesquial") ocupa una página, mientras que la antípoda ocupa la mayor parte del papel. La antípoda también debe entrar en juego para definir la $*$ -involución en el enfoque C-star.
Por último, surge la pregunta:
- ¿Es el functor de groupoides a álgebras conmutativas de Hopfish la 2-noción derecha de "completo y fiel"? Es decir, ¿es un invariante completo de las pilas? Es decir, ¿es recuperable una pila a partir de su álgebra conmutativa de Hopfish hasta Morita? ¿Es un morfismo de pilas recuperable a partir de un morfismo de álgebras? etc.
- ¿Cuál es la imagen esencial del functor descrito anteriormente? ¿Es toda álgebra conmutativa de Hopfish equivalente en Morita a una que procede de un grupoide? ¿Todo bimódulo procede de un biblón? Lo segundo es dudoso; lo primero es más prometedor.
