la regla de la cadena arroja resultados diferentes

Question

He encontrado esta interesante ecuación.

Supongamos que existe una función $y = t^3 - 9t$

Ahora quiero diferenciarlo utilizando la regla de la cadena de dos maneras

La primera forma de diferenciarlo)

deje $u = t^3$

deje $y = u -9t$

por lo tanto $u' = 3t^2$

por lo tanto $y'= 1-9 = -8$

de ahí $y' = -24t^2$

la segunda vía)

deje $u = t^3$

deje $y = t^3 - 9t$

por lo tanto $u' = 3t^2$

por lo tanto $y' = 3t^2 - 9$

de ahí $y' = 9t^4 - 27t^2$

PERO...ninguna de estas son las respuestas correctas - la correcta usando la ley de la suma es 3t^2 - 9. Puedes decir que mi error se "debe a aplicar la regla de la cadena para la función equivocada". La función anterior no es una función compuesta y por lo tanto no se puede utilizar la regla de la cadena para diferenciarla."

Sin embargo, me parece que ES una función compuesta. Se puede separar en dos funciones;

$g(t) = t^3$

$f(t) = t-9t^{1/3}$

combinados para dar $f(g(t)) $

Answer 1

Sea \begin{align} g(t) &= t^3, \\ f(t) &= t-9t^{1/3}, \\ y(t) &= f(g(t)) = t^3 - 9t. \end{align}

Entonces

\begin{align} g'(t) &= 3t^2, \\ f'(t) &= 1 - 3t^{-2/3}, \\ y'(t) &= f'(g(t))\, g'(t) \\ &= \left(1 - 3(g(t))^{-2/3} \right)(3t^2) \\ &= \left(1 - 3t^{-2} \right)(3t^2) \\ &= 3t^2 - 9. \\ \end{align}

La regla de la cadena funciona para $y(t)$ como una función compuesta, pero debe tratarla como la función compuesta correcta al aplicar la regla de la cadena y debe aplicar la regla de la cadena correctamente.