propiedades de la matriz de bloques

Question

$X=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}$ , $2n\times 2n$ matriz

Entonces

a) A, B,C,D son nilpotentes X es nilpotente

b)Si X es diagonalizable también lo son A,B,C,D.

c)polinomio mínimo de X divide el lcm de polinomios mínimos de A, B, C,D.

d)Si A,B, C,D son diagonalizables también lo es X.

Estoy seguro de que a) es cierto si $X^k=\begin{pmatrix}A&B\\C&D\end{pmatrix}^k=\begin{pmatrix}A^k&B^k\\C^k&D^k\end{pmatrix}$ Gracias por su ayuda, necesito saber cuáles de las afirmaciones anteriores son verdaderas/falsas.

Answer 1

Para a), c), d) puedes tomar el contraejemplo $\begin{pmatrix}0&1\\0&0\end{pmatrix}$ . (con $n=1$ ).

Para b) he probado un poco con Wolfram Alpha. He aquí un contraejemplo (aunque no intuyo bien por qué funciona):

$$\begin{pmatrix}1&0&0&1\\1&1&0&0\\2&1&1&0\\0&2&0&1\end{pmatrix}.$$

Aquí $n=2$ y $A,B,C$ no son diagonalizables. Pero toda la matriz sí lo es. Como se puede averiguar con Wolfram alfa .