Problema de conjugación en un grupo separable por conjugación

Question

He aquí una pregunta que me preocupa desde hace tiempo:

Sea G un grupo separable conjugado finitamente generado con problema de palabras resoluble. ¿Se deduce que el problema de conjugación en G es resoluble?

Antecedentes. Se dice que un grupo G es separable por conjugación si para cualesquiera dos elementos no conjugados x,y en G existe un homomorfismo de G a un grupo finito F tal que las imágenes de x e y no son conjugadas en F. Equivalentemente, G es separable por conjugación si cada clase de conjugación es cerrada en la topología profinita sobre G.

Un conocido teorema de Mal'cev afirma que un grupo separable de conjugación finitamente presentado tiene un problema de conjugación resoluble (en este caso es posible enumerar recursivamente todos los cocientes finitos, comprobando simultáneamente la conjugación de las imágenes de dos elementos dados en cada uno de ellos).

En la primera página del documento ' Separabilidad por conjugación de ciertos grupos de torsión. '
(Arch. Math. (Basel) 68 (1997), nº 6, 441--449.) Wilson y Zalesskii afirman que el problema de la conjugación puede resolverse en grupos separables de conjugación recursivamente presentados finitamente generados (lo que, por supuesto, implica una respuesta positiva a mi pregunta), y hacen referencia a un trabajo de J. McKinsey, ' El problema de decisión para algunas clases de oraciones sin cuantificadores ' (J. Symbolic Logic 8, 61 - 76 (1943)). Sin embargo, no pude encontrar nada en este último trabajo que permitiera tratar con infinito presentaciones recursivas. Además, la propiedad correspondiente para grupos residualmente finitos simplemente falla. Más concretamente, existen grupos finitos generados finitamente y presentados recursivamente (¡infinitamente!) con un problema de palabras irresoluble (cf. ' Un grupo finito residual generado finitamente con un problema de palabras irresoluble ' de S. Meskin, Proceedings of the American Mathematical Society, Vol. 43, No. 1 (Mar., 1974), pp. 8-10).

Answer 1

Creo que la cuestión aquí puede ser: si tienes un grupo finitamente generado, residualmente finito, con problema de palabras resoluble, entonces ¿puedes detectar un homomorfismo a un grupo finito?

Con esto quiero decir que tienes un conjunto finito de generadores y un algoritmo que te dirá cuándo una palabra de ese conjunto de generadores da el elemento trivial. Uno puede enumerar homomorfismos potenciales a un grupo finito, enviando cada generador a cada elemento posible en el grupo finito. Se puede saber si tal asignación pas dan un homomorfismo, encontrando una palabra en los generadores que es trivial en el grupo, pero que no es enviada a 1 en el grupo finito. Pero si de hecho es un homomorfismo, puede que nunca lo sepas definitivamente, ya que siempre encontrarás que los elementos triviales son enviados al elemento trivial.

Una pregunta relacionada es: ¿se puede saber cuándo un conjunto de ecuaciones polinómicas definido recursivamente define una variedad afín trivial (un único punto)? Sabemos que sólo se necesitan finitamente muchos polinomios para recortar la variedad por el Nullstellensatz, pero ¿cómo sabemos elegir algorítmicamente tal conjunto finito? Si supiéramos cómo hacerlo, podríamos responder a su pregunta. Esto podría ser algo bien conocido por los geómetras algebraicos o los lógicos.

Answer 2

Esta es otra respuesta incompleta, pero que ojalá pueda seguir siendo útil.

Digamos que un grupo G finitamente generado tiene cocientes finitos computables si existe un algoritmo que, a partir de un grupo finito F dado por una presentación finita y una función que mapea los generadores de G a los de F, decida si esta función puede o no extenderse como un homomorfismo.

El argumento de McKinsey resulta entonces claramente: en un grupo finitamente generado, separable por conjugación, con cocientes finitos computables, existe un algoritmo que decide cuándo dos elementos no están conjugados. Y, por tanto, si ese grupo se presenta recursivamente, debe tener un problema de conjugación resoluble.

Estudié esta propiedad en mi artículo: " Computabilidad de cocientes finitos de grupos finitamente generados ", donde demuestro que esta propiedad es independiente de la resolubilidad del problema de la palabra: un grupo residualmente finito puede tener cocientes finitos computables y a la vez tener un problema de la palabra irresoluble, y existen grupos residualmente finitos finitamente generados con problema de la palabra resoluble pero sin cocientes finitos computables. (Esto responde negativamente a la pregunta de Ian Agol).

Debido a esto, no tenemos razones para creer que para los grupos finitamente generados con problema de palabras resoluble, ser separable por conjugación es una condición suficiente para tener problema de conjugación resoluble, ya que esta hipótesis no se puede utilizar sin la capacidad de detectar cocientes finitos.

Sin embargo, por mucho que me gustaría responder llanamente "no" a tu pregunta, no sé cómo cambiar mi construcción para construir un grupo separable conjugado con problema de palabras resoluble y sin cocientes finitos computables, menos aún uno con problema de conjugación irresoluble.

Obsérvese, por último, que se desprende de un artículo de René Hartung ( Enumeración de cosetas para ciertos grupos de presentación infinita International Journal of Algebra and Computation) que el primer grupo de Grigorchuk tiene cocientes finitos computables, y por tanto el artículo de Wilson y Zalesskii que mencionas, y que demuestra que este grupo es separable por conjugación, sí ayuda a demostrar que tiene problema de conjugación resoluble.