¿Por qué se llaman coordenadas isotérmicas?

Question

En una variedad riemanniana, un sistema de coordenadas se denomina "isotérmico" si la métrica riemanniana en esas coordenadas es conforme a la métrica euclidiana:

$$g_{ij} = e^{f} \delta_{ij}$$

Mi pregunta es: ¿por qué se denominan "isotérmicos" estos sistemas de coordenadas? Debe tener algo que ver con la física térmica clásica. He intentado buscar una razón en Internet, sin éxito.

Es bien sabido que cuando la dimensión $n=2$ siempre existen coordenadas isotérmicas, y es probablemente aquí donde se introdujeron por primera vez. Entonces, ¿quizás la nomenclatura tenga algo que ver con la difusión del calor en el plano?

(La razón por la que lo pregunto es porque tengo previsto dar una charla en un seminario la semana que viene en la que demostraré que esas coordenadas existen cuando $n=2$ y pensé que estaría bien explicar a los alumnos de dónde viene el nombre...)

Answer 1

Las coordenadas isotérmicas son armónicas. En otras palabras, resuelve $\triangle_g u = 0$ . Por tanto, localmente es una solución estacionaria de la ecuación del calor. En física, para una distribución de temperaturas en estado estacionario, cada conjunto de niveles se denomina isoterma.

Answer 2

Según Gray, Abbena y Salamon es el nombre que Gabriel Lamé dio a estos sistemas de coordenadas en su estudio de 1833 sobre la transferencia de calor. La razón es que, si tienes una superficie térmicamente aislada de conducción de calor constante, las líneas de coordenadas constantes son isotermas si las coordenadas son isotérmicas.

Answer 3

Las coordenadas isotérmicas en un colector bidimensional no son armónicas a menos que el colector tenga curvatura media cero (como un submanifold inmerso del espacio euclidiano, por ejemplo.) El plano es una superficie mínima (bueno, PODRÍAMOS jugar con la parametrización :D ) y por tanto las coordenadas isotérmicas serían conformes o anticonformes allí.

En dimensiones superiores, las coordenadas isotérmicas pueden no existir, pero sí las coordenadas armónicas; Einstein las introdujo en (aproximadamente) 1916.