Sea $S =\{1,2,3,4,5 \} $ Para cada uno, dé una breve explicación y responda simplemente con un número. (a) ¿Cuántas funciones $f: S \longrightarrow S$ ¿están ahí?

Question

(b) ¿Cuántas funciones uno a uno $f : S\longrightarrow S$ ¿están ahí?

(c) Cuántas funciones $f : S \longrightarrow S$ están ahí para que $f o f(1) = 2$ ?

(d) Cuántas funciones onto $f: S\longrightarrow S$ están ahí para que $f o f(1) = 2$ ?

He resuelto la parte a y la parte b. Para la parte (a) acabo de tomar $2^5$ y obtuve la respuesta, y para la parte (b) simplemente tomé factorial. Entiendo la definición de onto y one-to-one. No puedo entender la parte (c) y la parte (d). Cualquier ayuda, muy apreciada.

Answer 1

(c) $f(1) = 2$ se elige. Así que te queda contar todos los mapas parciales $f: (S - \{1\}) \to S$ . Existen $5^4$ tales mapas ( $5$ posible para la cartografía $2 \to \dots$ , veces $5$ posible para la cartografía $3\to \dots$ y así sucesivamente... $5 \times 5\times \dots \times 5 = 5^4$ .

(d) Tenemos $f\circ f (1) = 2$ . Así que $f$ mapa de latas $1 \to $ cualquiera de $2,3,4,5$ (no 1, ¿por qué?), siempre que también asigne esa salida a $2$ . Así que elija entre $2,3,4,5$ y eso es $4$ opciones posibles, llame a la opción $x$ . Entonces también necesita mapear $x \to 2$ . Así, hay $4$ opciones para la cartografía $1 \to x$ , $1$ elección para la cartografía $x$ y tienes $3$ más entradas a la izquierda para mapear, con una elección de cualquier elemento en $S$ por lo que la respuesta debería ser $4 \times 1 \times 5^3$ .

No me cite :P