Simplificación de la constante de propagación compleja de una onda electromagnética plana

Question

Estoy intentando estudiar para un examen y me he encontrado con un problema que implica una onda plana electromagnética con un campo eléctrico y una constante de propagación proporcionados, pero a pesar de plantear la solución correctamente no consigo entender cómo simplificar la constante de propagación compleja con la información proporcionada.

Pregunta y solución :

Una onda electromagnética plana con una frecuencia angular de $\omega=4.518 \times 10^{10} \mathrm{rad} / \mathrm{s}$ se propaga en el $+z$ a través de un medio conductor. El medio se caracteriza por $\sigma=0.2 \mathrm{~S} / \mathrm{m}, \varepsilon=\varepsilon_{0}=8.8534 \times 10^{-12} \mathrm{~F} / \mathrm{m}$ y $\mu=\mu_{0}=4 \pi \times 10^{-7} \mathrm{H} / \mathrm{m}$ . El campo eléctrico asociado se representa en forma fasorial como: $$\vec{E}=E_{x 0} e^{-\gamma z} \hat{x}$$ donde $\gamma$ es la constante de propagación dada por: $$\gamma=j \omega \sqrt{\mu_{0} \varepsilon_{0}} \sqrt{1-\frac{j \sigma}{\omega \varepsilon_{0}}}$$ El valor de $z$ (en metros) para la que la magnitud del campo eléctrico es $0.01 E_{x 0}$ está muy cerca:
A. $\quad 0.00273$
B. $\quad 0.0289$
C. $\quad 0.0297$
D. $\quad 0.1259$

Utilizando las ecuaciones del enunciado del artículo: $$\begin{array}{l} \frac{1 \angle 90^{\circ}}{2.998 \times 10^{8}} \times 4.518 \times 10^{10} \sqrt{1-j 0.5}=159.3 \angle 76.72^{\circ}=36.59+j 155 \\ e^{-36.59 z}=0.01 \\ z=\frac{\ln (0.01)}{-36.59}=0.1259 \end{array}$$

Esencialmente mi problema viene con los pasos intermedios primero y segundo - entiendo sustituir los tres términos con los valores proporcionados y simplificar el tercer término a $$(1-0.5j)^{0.5}$$ , pero lo que no entiendo es por qué la solución tiene un fasor en el primer paso en lugar de un término j complejo, y por qué el $$2.998\cdot10^8$$ está en el denominador del primer término.

Además, no entiendo por qué este fasor mixto + número complejo se puede representar en un paso equivalente como un fasor en el siguiente paso, a menos que la solución proporcionada se esté saltando una tonelada de información

De ahí entiendo la conversión a un número complejo a partir de un fasor, luego establecer la intensidad de campo deseada a la intensidad de campo eléctrico con la constante de propagación calculada, luego simplificar por la magnitud de la distancia al campo para obtener la intensidad deseada - principalmente me estoy liando con cómo se hace la simplificación como se indica en la solución en la primera línea.

Answer 1

por qué la solución tiene un fasor en el primer paso en lugar de un término j complejo

Creo que es más fácil unir un ángulo a una magnitud que multiplicar por $j$ quizás más fácil de calcular. (Para el lector aficionado: los ingenieros y físicos suelen marcar la unidad imaginaria con un $j$ debido a $i$ del símbolo de la corriente alterna).

y por qué el término 2.998*10^8 está en el denominador

$$\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}=\sqrt{8.8534\cdot4\pi\cdot10^{-19}}\approx 3.3354925513\cdot10^{−9} \Rightarrow$$ $$\dfrac{1}{\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}}=\dfrac{1}{3.3354925513\cdot10^{−9}}=299805796.182\approx2.998\cdot10^8$$

Así $$\sqrt{\mu_0\varepsilon_0}\approx\frac{1}{2.998\cdot10^{8}}$$

No entiendo por qué este fasor mixto + número complejo se puede representar en un paso equivalente como un fasor en el paso siguiente

Ambos son números, puedes comprobar las cantidades físicas con el análisis dimensional, pero ambas cosas a los dos lados del signo igual representan el mismo valor numérico (aparte de las aproximaciones) sólo están escritas de forma diferente. Sí, se han saltado pasos, pero se pueden cambiar números complejos de muchas formas.

Tres formas principales que conozco, la forma algebraica: $$z=a+bi$$ La forma polar: $$z=r\cdot e^{i\varphi}$$ donde $\varphi$ es el grado del vector del número complejo, en las asignaturas de ingeniería eléctrica suele marcarse $$z=r\angle\varphi$$ y la forma trigonométrica: $$r(cos\varphi+i\sin\varphi)$$ Se describen formalmente en este artículo .

Cómo pasar de la forma algebraica a la forma de fase: $$z=a+bi$$

$$r=\sqrt{a^2+b^2}\hspace{5mm}\varphi=\arctan\left(\frac{b}{a}\right)$$

La forma trigonométrica utiliza los mismos parámetros que la fasorial.

La división compleja porque es la que más suele costar a la gente:

$$z=\dfrac{a+bi}{c+di}=\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot1=\dfrac{a+bi}{c+di}\cdot\dfrac{c-di}{c-di}=\dfrac{(a+bi)(c-di)}{(c+di)(c-di)}=\dfrac{ac+i(bc-ad)-bdi^2}{c^2-d^2i^2}=$$

$$z=\dfrac{ac+i(bc-ad)+bd}{c^2+d^2}=\color{blue}{\dfrac{ac+bd}{c^2+d^2}}+\color{red}{\dfrac{bc-ad}{c^2+d^2}}i$$