¿De dónde sacan los matemáticos la inspiración para las fórmulas Pi?

Question

Pregunta:

1. ¿De dónde saca la gente su inspiración para $\pi$ ¿Fórmulas?
2. ¿Por dónde empiezan con estas ideas?

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Ecuaciones como $$\dfrac 2\pi=1-5\left(\dfrac 12\right)^3+9\left(\dfrac {1\times3}{2\times4}\right)^3-13\left(\dfrac {1\times3\times5}{2\times4\times6}\right)^3+\&\text{c}.\tag{1}$$$$ \dfrac {2\sqrt2}{\sqrt{\pi}\Gamma^2\left(\frac 34\right)}=1+9\left(\dfrac 14\right)^4+17\left(\dfrac {1\times5}{4\times8}\right)^4+25\left(\dfrac {1\times5\times9}{4\times8\times12}\right)^4+\&\text{c}. \tag{2} $$$$\dfrac \pi4=\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac {(-1)^{k+1}}{2k-1}=1-\dfrac 13+\dfrac 15-\&\text{c}.\tag{3}$$ Siempre me ha confundido de dónde sacan los matemáticos sus inspiraciones o ideas para este tipo de identidades.

El primero lo encontró G. Bauer en $1859$ (algo que todavía quiero saber cómo probar. He encontrado esto pregunta formulada recientemente todavía abierta a pruebas), la segunda fue hallada por Ramanujan. Y tiene relación con las series hipergeométricas.

Me pregunto si la gente ve $\pi$ en otras fórmulas, como $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac 1{k^2}=\dfrac {\pi^2}6\implies\pi=\sqrt{\sum\limits_{k=1}^\infty\dfrac 6{k^2}}\tag{4}$$ Y aislar $\pi$ ¿o si surge algo nuevo y lo investigan?

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Por ejemplo, me pregunto si es posible manipular la expansión de $\ln m$

$$\ln m=2\left\{\dfrac {m-1}{m+1}+\dfrac 13\left(\dfrac {m-1}{m+1}\right)^3+\dfrac 15\left(\dfrac {m-1}{m+1}\right)^5+\&\text{c}.\right\}\tag{5}$$

Para obtener un $\pi$ fórmula. O la serie $$\sum\limits_{k=1}^{\infty}\dfrac 1{k^p}=\dfrac {\pi^p}n\tag{6}$$ Que converge cada vez más rápido a medida que $p$ se hace cada vez más grande.

Answer 1

He aquí otras tres joyas presentadas por orden cronológico.

Viète y el primer producto infinito de la historia de las matemáticas (1593)

\begin{align*} \frac{2}{\pi}=\sqrt{\frac{1}{2}}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}} \sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}+\frac{1}{2}\sqrt{\frac{1}{2}}}}\cdots\tag{1} \end{align*}

Entendemos aquí (1) como producto infinito \begin{align*} \frac{2}{\pi}=u_1u_2u_3\cdots=\lim_{n\rightarrow\infty}(u_1u_2\cdot u_n) \end{align*} donde \begin{align*} u_1=\sqrt{\frac{1}{2}}\qquad\text{and}\qquad u_n=\sqrt{\frac{1}{2}(1+u_{n-1})}\qquad \text{for }n>1 \end{align*}

En 1593 Viète expresó el número $\pi$ como producto infinito que es el primer producto infinito de la historia de las matemáticas. Su demostración se hizo siguiendo el espíritu de las ideas de Arquímedes: $\pi$ es el límite de las áreas $A_{2n}$ de los habituales $2^n$ -gonos inscritos en el círculo de radio uno.

La expresión (1) es un caso particular de una fórmula más general, dada doscientos años más tarde por Euler: \begin{align*} \frac{\sin\theta}{\theta}&=\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}\cos\frac{\theta}{8}\cdots\cos\frac{\theta}{2^n}\cdots =\lim_{n\rightarrow \infty}(v_1v_2\cdots v_n)\qquad \text{for }\theta\ne 0 \end{align*} donde \begin{align*} v_1=\cos\frac{\theta}{2}\qquad\text{and}\qquad v_n=\cos\frac{\theta}{2^n}&=\sqrt{\frac{1}{2}\left(1+\cos\frac{\theta}{2^{n-1}}\right)}\\ &=\sqrt{\frac{1}{2}(1+v_{n-1})} \qquad\text{for}\qquad n>1 \end{align*} La demostración de la fórmula de Euler es sencilla: Aplicando repetidamente la identidad trigonométrica $$\sin\theta=2\cos\frac{\theta}{2}\sin\frac{\theta}{2}$$ obtenemos \begin{align*} \frac{\sin\theta}{\theta}&=\cos\frac{\theta}{2}\cdot\frac{\sin(\theta/2)}{\theta/2} =\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}\cdot\frac{\sin(\theta/4)}{\theta/4} =\cdots\\ &=\cos\frac{\theta}{2}\cos\frac{\theta}{4}\cos\frac{\theta}{8}\cdot\cos\frac{\theta}{2^n}\frac{\sin(\theta/2^n)}{\theta/2^n} \end{align*} En $n$ tiende a infinito, $x=\frac{\theta}{2^n}$ tiende a $0$ Así pues $\frac{\sin x}{x}$ tiende a $1$ lo que prueba la afirmación.

Ramanujan, Integrales elípticas y $\pi$ (1914)

\begin{align*} \frac{1}{\pi}=\frac{2\sqrt{2}}{9801}\sum_{n=0}^\infty\frac{(4n!)}{4^{4n}(n!)^4}\left[1103+26390n\right]\left(\frac{1}{99^4}\right)^n\tag{2} \end{align*}

Esta increíble identidad es una de $17$ identidades de $\frac{1}{\pi}$ afirmado por Ramanjuan 1914 en el artículo Ecuaciones modulares y aproximaciones a $\pi$ sin pruebas.

Los matemáticos de la segunda mitad del siglo XIX y principios del XX desarrollaron métodos para el cálculo eficaz de ciertas constantes que aparecen en la teoría de las funciones elípticas. Ramanjuan dominaba especialmente este tipo de cálculos.

No se conocía una demostración de (2) hasta que en 1987 los hermanos Borwein reconstituyeron una demostración completa, publicada en _Pi y la AGM_ . La demostración es complicada, requiere mucho trabajo y no es fácil ni siquiera enunciar las ideas esenciales. Los ingredientes principales son las integrales elípticas generalizadas, las funciones modulares, las funciones theta y la AGM.

Notas:

• En la sección 5.8 Un resumen de la prueba por J. Borwein y P. Borwein en el libro El número $\pi$ de P. Eymard y J-P. Lafon presentan los autores en algunas páginas un resumen de las ideas esenciales en forma de proposiciones demasiado técnicas para exponerlas aquí aisladas, sin contexto.

• El periódico _Series de Ramanujan para $\frac{1}{\pi}$ : Un estudio_ contiene información agradable en torno a (2) y amigos.

Un hecho interesante es que las series del tipo (2) pueden utilizarse formidablemente para aproximado $\pi$ debido a su rápido comportamiento de convergencia. Con los métodos que los hermanos Borwein utilizaron para su demostración, ellos e independientemente los hermanos Chudnovsky descubrieron la identidad \begin{align*} \frac{1}{\pi}=12\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n(6n)!(13591409+545140134n)}{(n!)^3(3n)!(640320^3)^{n+1/2}} \end{align*} que es aún más eficiente, ya que cada término de la serie proporciona $14$ dígitos adicionales de $\pi$ .

Otra serie asombrosa debida a Ramanujan es \begin{align*} \frac{1}{\pi}=\sum_{n=0}^\infty\binom{2n}{n}^3\frac{42n+5}{2^{12n+4}} \end{align*} El denominador del término general contiene el número $16\cdot2^{12n}$ . Esto significa que se pueden calcular los dígitos en base $2$ del $n$ -a la $2n$ -th sin tener que calcular la primera $n$ dígitos de antemano. Este es el tema principal de la tercera gema.

La fórmula de Bailey, Borwein y Plouffe (1997)

\begin{align*} \pi=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{16^n}\left(\frac{4}{8n+1}-\frac{2}{8n+4}-\frac{1}{8n+5}-\frac{1}{8n+6}\right)\tag{3} \end{align*}

Esta fórmula, bastante sencilla, interesó especialmente a los tres matemáticos debido al factor $\frac{1}{16^n}$ en términos generales, como factor de una función aritméticamente muy simple de $n$ .

Fueron capaces de extraer de esta algoritmo (denominado BBP) para calcular el $d$ -Enésimo dígito de la expansión de $\pi$ individualmente en base $16$ y esto incluso para grandes $d$ , sin necesidad de conocer o calcular los dígitos que preceden a $d$ . Por ejemplo, el $10^{12}$ dígito de $\pi$ en base $2$ es $1$ .

La suma del lado derecho de (3) es de la forma \begin{align*} S=4S_1-2S_4-S_5-S6 \end{align*} con \begin{align*} S_k&=\sum_{n=0}^\infty\frac{1}{16^n(8n+k)}\\ &=(\sqrt{2})^k\sum_{n=0}^\infty\left[\frac{x^{8n+k}}{8n+k}\right]_{x=0}^{x=1/\sqrt{2}}\\ &=(\sqrt{2})^k\sum_{n=0}^\infty\int_0^{1/\sqrt{2}}x^{8n+k-1}\,dx\\ &=(\sqrt{2})^k\int_{0}^{1/\sqrt{2}}x^{k-1}\sum_{k=0}^\infty x^{8n}\,dx\\ &=(\sqrt{2})^k\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{x^{k-1}}{1-x^8}\,dx \end{align*} donde $k=1,4,5,6$ .

Por lo tanto \begin{align*} S=\int_{0}^{1/\sqrt{2}}\frac{8x^5+4\sqrt{2}x^4+8x^3-4\sqrt{2}}{x^8-1}\,dx \end{align*}

Obtenemos \begin{align*} 8x^5+4\sqrt{2}x^4+8x^3-4\sqrt{2}=8(x^2+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)\left(x-\frac{1}{\sqrt{2}}\right) \end{align*} y \begin{align*} x^8-1=(x^2+1)(x^2+\sqrt{2}x+1)(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2-1) \end{align*} Configuración $\sqrt{2}x=t$ obtenemos \begin{align*} S&=8\int_0^{1/\sqrt{2}}\frac{x-\frac{1}{\sqrt{2}}}{(x^2-\sqrt{2}x+1)(x^2-1)}\,dx\\ &=16\int_0^{1}\frac{t-1}{(t^2-2t+2)(t^2-2)}\,dt\\ &=-2\int_0^1\frac{2t-2}{t^2-2t+2}\,dt+4\int_0^1\frac{dt}{1+(t-1)^2}+2\int_0^1\frac{-2t}{2-t^2}\,dt\\ &=[-2\log(t^2-2t+2)+4\arctan(t-1)+2\log(2-t^2)]_{t=0}^{t=1}\\ &=\pi \end{align*}

y (3) sigue.

Nota: Estas tres joyas son de El número $\pi$ de P. Eymard y J-P. Lafon, que contiene muchas más identidades fascinantes de $\pi$ .

Answer 2

Muchas de estas fórmulas proceden de la teorema de la expansión binomial generalizada o serie geométrica y un poco de interpretación de la definición de $\pi$ . Un ejemplo de ello es el Fórmula de Leibniz para pi, que se obtiene observando que

$$\int_0^x\frac1{1+t^2}\ dt=\arctan(x)$$

De aquí se deduce que

$$\frac\pi4=\arctan(1)=\int_0^x\frac1{1+t^2}\ dt=\int_0^x\sum_{n=0}^\infty(-1)^nt^{2n}\ dt=\sum_{n=0}^\infty\frac{(-1)^n}{2n+1}$$

Mediante la aplicación de un Transformada de Euler a esto, obtenemos otra representación de pi:

$$\frac\pi2=\sum_{n=0}^\infty\frac{n!}{(2n+1)!!}$$

Se podría tomar el significado geométrico de pi como área (integral) de un círculo para deducir que

$$\frac\pi4=\int_0^1\sqrt{1-x^2}\ dx=\int_0^1\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}n(-1)^nx^{2n}\ dx=\sum_{n=0}^\infty\binom{1/2}n\frac{(-1)^n}{2n+1}$$

Usted señaló que

$$\sum_{k=1}^\infty\frac1{k^2}=\frac{\pi^2}6$$

Se trata de un caso especial del Función zeta de Riemann que produce otra forma después de un Transformada de Euler :

$$\frac{\pi^2}6=2\sum_{n=0}^\infty\frac1{2^{n+1}}\sum_{k=0}^n\binom nk\frac{(-1)^k}{(k+1)^2}$$

que converge mucho más rápidamente.

En otros lugares puede aparecer pi, relacionado especialmente con los logaritmos:

$$e^{ix}=\cos(x)+i\sin(x)$$

Lo que se conoce como Fórmula de Euler .

Más allá de esto, creo que las fórmulas se vuelven cada vez menos intuitivas y más parecidas a una carrera por encontrar la mejor fórmula a aplicar.

Answer 3

Un método, sin duda, se debe al razonamiento que implica la definición clásica de $pi$ (la relación entre el diámetro y la circunferencia). Por ejemplo, la relación entre el diámetro y el perímetro de un polígono regular a medida que el número de lados se eleva hasta el infinito da como resultado $\pi$ . Empezando por el cuadrado y duplicando el número de lados del polígono se obtiene la secuencia $$2\sqrt2$$ $$4\sqrt{2-\sqrt2}$$ $$8\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt2}}$$ $$16\sqrt{2-\sqrt{2+\sqrt{2+\sqrt2}}}$$ $$\dots$$

Se podría derivar algo similar para $\pi^2$ o $\pi^3$ utilizando las áreas de polígonos regulares, las áreas superficiales/volúmenes de poliedros regulares convexos, etc.

Sólo especulaba: uno podría inspirarse en fenómenos físicos como la velocidad angular frente a la velocidad lineal de un objeto que se desplaza en círculo, el momento angular, el par, etc.

Answer 4

En realidad, es un poco de las dos cosas. A menudo lo que ocurre es que encuentran una ecuación para algo, y ven una oportunidad para conseguir $\pi$ fuera de él. Mi ejemplo favorito es la fórmula $\pi = 4 - \frac{4}{3} + \frac{4}{5} - \frac{4}{7} + \cdots$ . Esto procede de la expansión en serie de Taylor de $\arctan{x}$ que es $\arctan{x} = x - \frac{x^3}{3} + \frac{x^5}{5} - \frac{x^7}{7} + \cdots$ . En algún momento, alguien se dio cuenta de que $\arctan{x}$ a menudo produce múltiplos de $\pi$ en particular, $\arctan{1} = \frac{\pi}{4}$ . Enchufar $x = 1$ a la serie de Taylor y multiplicando ambos lados por $4$ da la fórmula.

No conozco ninguna situación en la que alguien realmente establecer para una fórmula de $\pi$ suele ser un matemático que trabaja en otra cosa el que se topa con una nueva fórmula. Pero rara vez es tan directo como $\sum_{k=1}^{\infty}\frac{1}{k^2} = \frac{\pi^2}{6}$ normalmente tienen que introducir determinados valores para hacer $\pi$ suceder.