¿Demostración directa de una identidad relativa a cierta simetría de particiones de números enteros?

Question

Supongamos que $(a_1,\ldots, a_k)$ es una partición entera de $n$ y $(b_1,\ldots,b_k)$ es una reordenación del $a$ -secuencia. Demostrar la siguiente identidad (preferiblemente combinatoria): $$\sum_{j_2+\cdots+j_k=l,\atop l\geq 0, \, a_t>j_t\geq 0} \quad\frac{(-1)^l l!}{(a_1+l+1)_{l+1}} {a_2\choose j_2}\cdots {a_k \choose j_k}=\sum_{j_2+\cdots+j_k=l,\atop l\geq 0, \, b_t>j_t\geq 0} \quad\frac{(-1)^l l!}{(b_1+l+1)_{l+1}} {b_2\choose j_2}\cdots {b_k \choose j_k},$$ donde $(x)_k$ es el factorial descendente.

Answer 1

Supongo que querías decir $j_t\leq a_t$ (no $j_t<a_t$ ).

Basta demostrar que para cualquier función analítica $f(x)$ la función $$F(a_1,a_2) := \sum_{l\geq 0} \sum_{j=0}^{a_2} \frac{(-1)^ll!}{(a_1+l+1)_{l+1}} \binom{a_2}{j} [x^{l-j}]\ f(x)$$ es simétrico, es decir $F(a_1,a_2) = F(a_2,a_1)$ .

Utilizando la propiedad de función beta tenemos

$$\begin{split} F(a_1,a_2) &=\sum_{l\geq 0} \frac{(-1)^ll!}{(a_1+l+1)_{l+1}} [x^l]\ (1+x)^{a_2}f(x) \\ &=\sum_{l\geq 0} (-1)^l \int_0^1 t^l (1-t)^{a_1} {\rm d}t\ [x^l]\ (1+x)^{a_2}f(x)\\ &=\int_0^1 (1-t)^{a_1} (1-t)^{a_2} f(-t) {\rm d}t, \end{split}$$ que es claramente simétrica.