Operaciones de multiplicación y división de $0$ y $\infty$

Question

Nota: Este post no puede considerarse una teoría personal. Estos son los argumentos que he descubierto por el razonamiento y sólo quiero saber su validez.

Aquí presento las operaciones de multiplicación y división de $0$ y $\infty$ por puro razonamiento. $$\dfrac{x}{0}=\infty$$ (donde $0$ es infinitesimal positivo) $$AND$$ $$\dfrac{x}{0}=-\infty$$ (donde $0$ es infinitesimal negativo)

Si dividimos $x$ por un no pequeño, obtenemos un no grande. $$\dfrac{x}{small}=big$$

Si seguimos dividiendo $x$ por un no. pequeño y luego por otro no. pequeño y así sucesivamente, vamos consiguiendo no. más y más grandes. $$\dfrac{x}{small\times small\times.....}=big\times big\times.....$$

Del mismo modo, si dividimos $x$ por un no. negativo pequeño y luego por otro no. pequeño y así sucesivamente, obtenemos no. negativos cada vez mayores. $$\dfrac{x}{-small\times small\times.....}=-big\times big\times.....$$

Sin embargo, al hacerlo, hay que tener en cuenta dos hechos:

(1) El número pequeño en el denominador de LHS nunca alcanzará $0$ .

(2) El gran nº en el RHS nunca llegará a $\infty$ o $-\infty$ .

Así, razonando, si alguna vez imaginamos que el nº pequeño en el denominador de LHS es $0$ (lo cual es imposible), también debemos imaginar que el número grande positivo o negativo en el RHS es $\infty$ o $-\infty$ respectivamente (lo que también es imposible). ¿Es una prueba razonable para "dividiendo un no. por cero, obtenemos infinito positivo o negativo es decir $\frac{x}{0}=\infty$ o $-\infty$ "?

Ahora por manipulación algebraica,

$$0\times\infty=x$$ (donde $0$ es infinitesimal positivo) $$AND$$ $$0\times-\infty=x$$ (donde $0$ es infinitesimal negativo)

Pero, ¿es legal la manipulación algebraica en este caso?

A este respecto, cabe señalar dos hechos:

(1) Nunca podemos sumar cero infinitas veces en línea positiva o negativa no.

(2) Nunca podremos conseguir $x=$ distinto de cero cuando seguimos sumando cero una y otra vez.

Así, por razonamiento, si alguna vez imaginamos que sumamos cero infinitas veces (lo cual es imposible), también deberíamos imaginar que $x=$ distinto de cero (lo que también es imposible). ¿Es una prueba razonable para "infinito veces cero es distinto de cero es decir. $0\times\infty=x$ "?

Si es cierto, entonces por manipulación algebraica de $0$ y $\infty$ estamos obteniendo respuestas lógicamente correctas.

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Ahora observamos $0\times\infty=x$ puede ser cualquier número y, por tanto, no está definido. Si queremos que $x$ un nº bien definido, deberíamos hacer nº líneas de $0$ y $\infty$ como una extensión de la línea del número real y dar varios valores para $0$ y $\infty$ como:

$$OR$$

Del mismo modo:

Ahora bien, si elegimos determinados valores de $0$ y $\infty$ obtenemos un valor bien definido de $x$ . Por ejemplo:

$$(0\times2)\times(\infty\times3)=(\infty^{-1}\times2)\times(\infty\times3)=2\times3\times\infty^{-1}\times\infty=6$$

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¿Ahora podemos considerar esta línea no. de $0$ como la línea nº infinitesimal de análisis no estándar?

De forma similar, ¿podemos definir también el número de líneas de infinitesimal de infinitesimal (diferenciales de segundo orden) y de infinito de infinito etc.

¿Me equivoco en algún punto de mi razonamiento? ¿Son lógicamente correctas mis conclusiones?

Answer 1

Lo primero de lo que está hablando es básicamente el siguiente límite:

$$\lim_{t\to0}\frac{x}{t}=\infty$$

donde dividimos $x$ por un número muy reducido $t$ que es infinitamente cercano a cero, para obtener un número muy grande - infinito. Este límite se llama indefinido o indeterminado.

No utilizamos $\infty$ en nuestra vida cotidiana ni intentar manipulaciones algebraicas con él ya que el infinito no es un número . Es un símbolo que representa algo sin límite o mayor que cualquier número .

Pero el infinito y algunas otras cosas indefinidas pueden definirse a veces para ayudar a resolver algunos problemas, o definirse de formas ligeramente diferentes. Consulta wikipedia página sobre la división por cero, donde por ejemplo en álgebra abstracta la división por cero siempre es posible, pero de una forma ligeramente diferente.

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Y de hecho tenemos "números" que nos permiten cuente más allá del infinito. Los llamamos ordinales .

$$\omega$$ es el "número" que se asigna a un número que es mayor que todos los enteros (inalcanzable por una cantidad finita de operaciones aritméticas). Podemos seguir contando, los siguientes son $\omega +1, \omega +2, \omega +3\dots$

Lo mismo que hay número $3$ por ejemplo, podemos asignar un ordinal a ese número. Se asigna omega al número mayor que todos los enteros.

Al fin y al cabo omegas más algo, tenemos $2\times\omega$ , $3\times\omega\dots$

Haciendo eso infinitas veces nos da $\omega^{2}$ . Podemos repetirlo infinitas veces para llegar a la poderosa $\omega^{\omega}$ Pero esto no acaba aquí. Pensemos: $$\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\omega^{\dots}}}}}}}$$

Infinitas veces. Ahora llegamos a un conjunto de todos los ordinales contables. Lo llamamos simplemente $\omega_1$ .

Omega también se asocia con $\aleph_0$ que se llama aleph nada y es el primero, el más pequeño cardenal número.

Pero la aritmética y las operaciones estándar no se aplican exactamente aquí.

Las utilizamos para medir cosas y asignar un valor del pedido a los números, en lugar de realizar cálculos. He aquí un vídeo interesante sobre contar más allá del infinito, que debe ser entendido por todos.

También se utilizan para definir números transfinitos y puede que me haya confundido un par de veces. No me retengas en mis palabras exactas aquí.

Se puede pensar en repetir todo esto para llegar a $\omega_{\omega}$ . Y quizás jugar con la notación:

$$\omega_{\omega_{\omega_{\omega_{\omega_{\omega_{\omega}}}}}}$$

Pero puedes buscar estas cosas si te parecen interesantes después de ver el vídeo.

También existen los "opuestos del infinito", infinitesimales . "Números" tan pequeños que no podemos medirlos. Igual que no podemos alcanzar el infinito.

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• Si quieres aplicar ordinales en problemas matemáticos, consulta este vídeo sobre cómo matar a la hidra.

• El mismo canal también tiene este video donde necesitamos ordinales para resolver un problema matemático ya que nuestras operaciones "no superan el infinito", necesitamos pasar el Aritmética Peano .

Answer 2

¡Felicidades! Acabas de reinventar Abraham Robinson 's marco para el análisis con infinitesimales. Obsérvese que al denotar un infinitésimo por $0$ o más exactamente por $o$ tiene una historia respetable que comienza al menos con Isaac Newton. Además, Euler tendían a referirse a los infinitesimales como "exactamente cero".

Sea como fuere, resultó ser más productivo utilizar una notación diferente para ellos, por ejemplo $\epsilon$ y $\delta$ para infinitesimales típicos y $H$ y $K$ para números infinitos típicos; véase el maravilloso libro de texto de Keisler Cálculo elemental para más detalles.

Aparte de eso, el formalismo que has esbozado es perfectamente válido, y es mucho mejor recibido por los estudiantes que el enfoque tradicional épsilon-delta; véase este estudio reciente .