Para qué valores de a$a$, $\sum_{n=1}^\infty \left( 1+\frac12 + \dotsb + \frac1n \right) \frac{\sin (na)}{n}$ convergen?

Question

Para qué valores de a$a$, $$\sum_{n=1}^\infty \left( 1+\frac12 + \dotsb + \frac1n \right) \frac{\sin (na)}{n}$$ convergen?

A mi manera de pensar, $$f(n)=\frac{\left( 1+\frac12 + \dotsb + \frac1n \right)}{n}$$ will behave like $\frac{\log n}{n}$, which is not convergent, but certainly has terms going to zero (eventually monotonically). By Dirichlet's test, $$\sum_{n=1}^\infty f(n) \sin(an)$$ will converge provided that the partial sums of $\sum_{n=1}^\infty \sin(na)$ are bounded, which they always are. So it should converge for all $\in \mathbb{R}$.

Agradecería que alguien señalando los errores en este razonamiento. Gracias

Answer 1

Su razonamiento se ve sonido. En caso de duda, siempre se puede hacer sumación por partes, para comprobar, por ejemplo, en este caso, con $H_n = 1+\cdots + 1/n$$s_n = \sum_{k = 1}^n \sin{(an)}$, habría que escribir \begin{align*} \sum_{n=1}^N {H_n \sin{(na)}\over n} & = {H_Ns_N\over N}+\sum_{n=1}^{N-1}\left({H_n\over n} -{H_{n+1}\over n+1}\right)s_n\\ & = {H_Ns_N\over N}+\sum_{n=1}^{N-1}{(n+1)H_n-nH_{n+1}\over n(n+1)} s_n. \end{align*} Desde $(n+1)H_n - nH_{n+1} = H_n-1$ $s_n$ es acotado, por encima de la suma parcial puede ser comparado a una suma con los términos de $H_n/n^2\approx \log{n}/n^2$ que converge.