Sea $E$ a Espacios de Banach de dimensión infinita. La topología débil es la más gruesa que hace que los funcionales sean continuos. Denotemos $\mathcal T_W$ la topología débil en $E$ .
1) Llamo "Dual topológico" al elemento de $E^*=\mathcal L(E,\mathbb R)$ que son continuas (wrt la topología fuerte que denoto $\mathcal T$ es decir, inducida por la norma de $E$ ). Denoto $E'$ . Sé que $E'\subsetneq E^*$ es decir, hay funcionales lineales que no son continuas.
2) En el libro "Analyse fonctionnelle : Théorie et application" de Haim Brezis está escrito que todos los abiertos de la topología débil son también abiertos en la topología fuerte.
3) Entonces se escribe que la topología débil es estrictamente más gruesa que la topología fuerte en el sentido de que hay menos abiertos.
Pregunta : Para mí, 1) no es coherente con 2) y 3). Si $E'\subset E^*$ y que $\mathcal T_W$ hace que todos los elementos de $E^*$ continua, hay más función continua con referencia a la topología débil, y por lo tanto, debería tener más conjunto abierto no ? Si consideramos $E$ con una topología $T$ y $\mathcal F(E,\mathbb R)$ el conjunto de la función $f:E\to \mathbb R$ a priori, más delgado es $T$ y más elemento de $\mathcal F(E,\mathbb R)$ van a ser continuas, y por tanto, más abiertas no hay ? Así que con este argumento, la topología débil debería tener más abierto que la topología fuerte. ¿Podría alguien darme más explicaciones?
