Problema 12, capítulo 1 de Análisis funcional de Walter Rudin.

Question

Se trata de demostrar que la métrica , definida a continuación, induce una topología usual sobre R :. $d_2(x,y)=|\phi(x)-\phi(y)|$

Dónde $\phi(x)=\frac{x}{(1+|x|)}$ y $d_1$ es la métrica habitual.

La continuidad de $\phi\times\phi$ y $d_1$ da que $d_2$ es continua cuando $\mathbb{R}$ se da métrica habitual, pero no soy capaz de hacer de otra manera. ¿alguna ayuda?

Answer 1

Como ha observado, una dirección se desprende de la continuidad de $\phi$ . Por lo tanto, el otro sentido debe seguirse de la continuidad de la función inversa.

Observe que $\phi$ visto como una función de $\mathbb{R}$ en el intervalo abierto $(-1,1)$ es invertible, y su inversa viene dada por: $\phi^{-1}(y)=\frac{y}{1-|y|}$ . En particular, la función inversa es continua en $(-1,1)$ . En consecuencia, si $\{x_n\}_{n=1}^{\infty}$ es una secuencia en $\mathbb{R}$ convergiendo hacia algún $x\in\mathbb{R}$ en el $d_2$ métrica, entonces con $y_n=\phi(x_n)$ y $y=\phi(x)$ tienes $y_n\to y$ y, por tanto, por continuidad de la inversa, (nótese que $y_n,y\in (-1,1)$ ), obtenemos: $$x_n=\phi^{-1}(y_n)\to\phi^{-1}(y)=x\quad\hbox{as}\quad n\to\infty$$ de ahí $x_n\to x$ en el $d_1$ métrico.