Es $\aleph_0^{\aleph_0}$ menor que o igual a $2^{\aleph_0}$?

Question

Posibles Duplicados:
¿Cuál es la cardinalidad de todas las secuencias con coeficientes en un conjunto infinito?

Es $\aleph_0^{\aleph_0}$ menor que o igual a $2^{\aleph_0}$?

Pensé ver este tipo de instrucción en alguna parte, pero no la recuerdo.

¿Alguien puede mostrarme la prueba de ello?

Gracias.

Answer 1

Dependiendo de su definición precisa de "el cardenal", el teorema a continuación puede requerir que el Axioma de Elección (de hecho, para hacer que sea realmente útil, se requiere).

Teorema. Para todos los cardenales $\lambda$$\kappa$, $\kappa$ infinito, si $2\leq \lambda\leq\kappa^+$,$\lambda^{\kappa}=2^{\kappa}$.

Prueba. $2^{\kappa}\leq \lambda^{\kappa}\leq (\kappa^+)^{\kappa}\leq (2^{\kappa})^{\kappa} = 2^{\kappa\kappa} = 2^{\kappa}$. $\Box$

(CA se utiliza para ponerse $\kappa\kappa=\kappa$; la afirmación de que cada conjunto infinito $X$ es bijectable con $X\times X$ es equivalente al Axioma de Elección).

Corolario. $\aleph_0^{\aleph_0} = 2^{\aleph_0}$.

Prueba. Tome $\lambda=\aleph_0$, que satisface $2\leq \lambda \leq \aleph_0^+=\aleph_1$. $\Box$

Answer 2

En realidad son iguales, $2^{\aleph_0}\leq \aleph_0^{\aleph_0}\leq (2^{\aleph_0})^{\aleph_0}=2^{\aleph_0\cdot\aleph_0}=2^{\aleph_0} $