eventualmente y con frecuencia para las redes

Question

Estoy estudiando las redes y hay algo en la definición de eventualmente y frecuentemente que me está confundiendo.

Estas son las definiciones que tengo.

Eventualmente: una red $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ en un conjunto $X$ es finalmente en $Y \subset X$ si $\exists \tilde{\lambda} \in \Lambda$ tal que $\forall \lambda \ge \tilde{\lambda}$ , $x_\lambda \in Y$ .

Frecuentemente: una red $(x_\lambda)_{\lambda \in \Lambda}$ en un conjunto $X$ es frecuente en $Y \subset X$ si $\forall \lambda \in \Lambda$ , $\exists \mu \in \Lambda, \mu \ge \lambda$ tal que $x_\mu \in Y$ .

Ahora bien, como las redes no se definen necesariamente en un conjunto totalmente ordenado, imagino que una red puede tener varias ramas independientes. Así que la forma en que leo intuitivamente la definición de eventualmente es que una de las ramas eventualmente termina en $Y$ (y otras ramas puede que ni siquiera pasen $Y$ ), mientras que con frecuencia significa que $every$ rama debe tocar $Y$ . Por lo tanto en las redes eventualmente no implica frecuentemente. ¿Es esto correcto? Extrañamente no he podido encontrar una respuesta a esto.

Gracias

Answer 1

Es cierto que $\Lambda$ no es necesariamente un conjunto totalmente ordenado, pero está filtrado (o dirigido), es decir, para cualquier $i,j\in \Lambda$ existe un $k\in \Lambda$ tal que $i\leq k$ y $j\leq k$ . Supongamos $(x_{\lambda})_{\lambda}$ se encuentra en $Y$ finalmente.

Elija $\lambda\in \Lambda$ . Sabemos que existe un $\tilde{\lambda}\in\Lambda$ tal que $x_{i}\in Y$ para todos $i\geq \tilde{\lambda}$ . Desde $\Lambda$ está filtrado, existe un $k\in \Lambda$ tal que $\lambda \leq k$ y $\tilde{\lambda}\leq k$ . Entonces $x_k\in Y$ . Así $(x_{\lambda})_{\lambda}$ se encuentra en $Y$ con frecuencia.

Esto demuestra que si $(x_{\lambda})_{\lambda}$ finalmente se encuentra en $Y$ entonces también suele estar en $Y$ .

Answer 2

Incluso en un conjunto de índices ordenados linealmente, estas nociones difieren:

Por ejemplo, considere la secuencia (una red especial, indexada por $\mathbb{N})$ ) $$-1,1,-1,1,-1, 1,-1$$ no está finalmente en $(0,\infty)$ pero es con frecuencia en este conjunto ..

Eventualmente implica con frecuencia debido a la propiedad de que dos elementos cualesquiera del conjunto índice tienen un límite superior común, por lo que sus colas "se juntan" durante un tiempo, es decir, todos los conjuntos de colas $T(i_0 )= \{i: i \ge i_0\}$ se cruzan (forman la denominada base del filtro).