Determinante de una matriz cuadrada en un campo

Question

\begin{array}{rrrrr|r} b & a & a & \cdot \cdot \cdot & a \\ a & b & a & \cdot \cdot \cdot & a \\ a & a & b & \cdot \cdot \cdot & a \\ \cdot & \cdot & \cdot & \space & \cdot\\ \cdot & \cdot & \cdot & \space & \cdot\\ a & a & a & \cdot \cdot \cdot & b \end{array}

Tengo la matriz anterior $A\in M_{n\times n}(F)$ donde $F$ es un campo y $n\geq1$ , $a,b\in F$ .

Estoy tratando de averiguar cómo utilizar las operaciones de fila para convertirla en una matriz triangular superior con el fin de averiguar el determinante. Pero no estoy seguro de cómo lo abordaría.

Answer 1

Para hallar el determinante, en lugar de transformar la matriz a una forma triangular superior, se podría expresar la matriz (de tamaño $n\times n$ ) como $$M=(b-a)I_{n\times n}+a\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}^T$$ donde $I_{n\times n}$ es la matriz identidad, y $\mathbf{1}$ es un $n\times 1$ vector cuyos elementos son todos $1$ (nótese que la matriz $a\mathbf{1}\cdot\mathbf{1}^T$ tendrá rango $1$ ).

Así pues (utilizando la Lema del determinante de la matriz ) uno de los valores propios de la matriz $M$ será $(b-a)+na$ y el resto (es decir $n-1$ ) de los valores propios será $b-a$ . Así, el determinante será $(b-a)^{n-1}(b+(n-1)a)$ .

Answer 2

Se trata de una variante de https://math.stackexchange.com/a/1238109/62967

Considere la $n\times n$ matriz $A_a$ con todos los coeficientes iguales a $a$ . Entonces $na$ es el único valor propio distinto de cero (si $a\ne0$ ) porque el rango es $1$ . Por tanto, el polinomio característico de $A_a$ es $$ \det(A_a-XI_n)=(0-X)^{n-1}(na-X)=(-1)^{n-1}X^{n-1}(na-X) $$ Su matriz puede escribirse como $A_a-(a-b)I_n$ por lo que su determinante es el valor del polinomio característico de $X=a-b$ : $$ (-1)^{n-1}(a-b)^{n-1}(na-a+b)=(b-a)^{n-1}((n-1)a+b) $$