$$f\in C^{2}(\mathbb{R})\textrm{ such that }\left | f''(x) \right |\leq M\: \: \forall x\in \mathbb{R}.\\ \textrm{Prove that }\frac{\left | f(x+h)+f(x-h)-2f(x) \right |}{h^{2}}\leq M\: \: \forall x\in \mathbb{R}$$ He probado con el teorema del valor medio y otros resultados de análisis estándar, pero no he conseguido ningún avance. Por favor, ayúdenme.
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Martin R
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Para fijos $x$ considere la función $$ g(h) = f(x+h) + f(x-h) - 2f(x) \, . $$ A continuación, utilice el teorema de Taylor en la forma $$ g(h) = g(0) + hg'(0) + \frac 12 h^2 g''(c) $$ para algunos $c$ entre $0$ y $h$ y observe que $g(0) = g'(0) = 0$ . Esto da $$ \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} = \frac {f''(x+c) + f''(x-c)}2 $$ y la estimación deseada se obtiene inmediatamente.
Observaciones:
- Sólo la existencia de la segunda derivada de $f$ para llegar a esta conclusión, no su continuidad.
- Uno incluso tiene $$ \frac{f(x+h) + f(x-h) - 2f(x)}{h^2} = f''(\xi) $$ para algunos $\xi \in (x-h, x+h)$ . Esto se deduce de los cálculos anteriores y de la propiedad del valor medio de las derivadas o del resultado general ¿Existe un teorema del valor medio para las diferencias de orden superior? .
