Hallar el número representado por una fracción continua

Question

Supongamos que tengo la siguiente expansión de fracciones continuas:

$[2,\overline{6,1}]=\alpha$

¿Cómo puedo encontrar $\alpha$ ?

Answer 1

Usted tiene $\alpha=2+\frac{1}{\beta}$ donde $\beta=[\overline{6,1}] $ es un número $>6$ cumpliendo $$ \beta = 6+\frac{1}{1+\frac{1}{\beta}}=\frac{7\beta+6}{\beta+1}. $$ De ello se deduce que $\beta$ es una raíz de $z^2-6z-6$ Por lo tanto $\beta=3+\sqrt{15}$ y $$ \alpha= 2+\frac{1}{\sqrt{15}+3} = 2+\frac{\sqrt{15}-3}{6}=\color{red}{\frac{9+\sqrt{15}}{6}}.$$