Si $U \neq W$ entonces $U \cap W$ es un subespacio unidimensional?

Question

Sea $V$ sea un espacio vectorial con $\dim(V) = 3$ . Sea $U, W$ sean subespacios vectoriales de dimensión dos en $V$ (es decir, planos que pasan por el origen). ¿Cómo puedo ver que si $U \neq W$ entonces $U \cap W$ es un subespacio unidimensional?

Answer 1

Desde $U\ne W$ es $3=\dim (U+W).$ Ahora

$$3=\dim (U+W)=\dim U+\dim W-\dim (U\cap W)=4-\dim(U\cap W),$$

de donde $\dim (U\cap W)=1.$

Answer 2

$dim U\cap W\leq 2$ si es igual a $2$ entonces $U\cap W=U=W$ contradicción con $U \neq W$ y puesto que la dimensión $V=3$ entonces no puede ser $dim U\cap W=0$

Answer 3

Pista: La intersección de los planos que pasan por el origen es una recta que pasa por el origen, es decir, el subespacio unidimensional que estabas buscando