El campo recortado por una forma modular CM es imaginario

Question

Sea $f=\sum_{n=1}^\infty a_nq^n$ sea una nueva forma de nivel $N$ y peso $k\ge 2$ . Supongamos que $f$ es una forma modular CM en el sentido del §3 del artículo de Ribet Representaciones de Galois adjuntas a formas propias con nebentypus es decir, existe un carácter cuadrático $\varphi$ tal que $$a_p = \varphi(p)a_p$$ para todos los primos $p$ en un conjunto de primos de densidad $1$ . Sea $K$ sea el campo cuadrático recortado por $\varphi$ .

¿Existe una explicación realista de por qué $K$ debe ser un campo cuadrático imaginario?

La demostración dada en el teorema 4.5 del artículo anterior depende bastante de las propiedades del grupo de Serre $S_{\mathfrak m/K}$ .

Answer 1

Como dice Joel, $a_p=0$ si $p$ es inerte en $K$ lo que significa que la representación de Galois adjunta a $f$ debe inducirse a partir de una representación unidimensional del grupo de Galois absoluto de $K$ . Si $K$ fueran cuadráticas reales, entonces el carácter bruto correspondiente a esta representación unidimensional tendría que ser igual a $|.|^n$ tanto en el $\mathbf{R}_{>0}$ 's en los lugares infinitos. Pero esto significa que la representación de Galois asociada tiene orden finito hasta la torsión (ambos pesos de Hodge-Tate son iguales) por lo que el peso tendría que ser 1.