Un dado justo y algunas corbatas en un armario - argumento formal necesario

Question

Un armario $W_1$ contiene $m$ negro y $m$ corbatas azules. Un dado justo con $m$ lados se enrolla. Si el $r$ a cara aparece, entonces $r$ las corbatas se retiran del armario $W_1$ y colocado en otro armario $W_2$ (vacío para empezar). Ahora, elige una corbata de $W_2$ al azar. ¿Cuál es la probabilidad de que sea una corbata de color negro?

Adivina rápido: $\displaystyle \frac{1}{2}$

Supongamos que $r$ se retiran de $W_1$ y la tupla $(x,y)$ indica cuántos empates de cada color se eliminan. Toma, $x+y = r$ , $x$ representa el negro y $y$ representa las corbatas azules. Las posibilidades de $(x,y)$ son los siguientes: $$(0,r)\\ (1,r-1)\\ (2,r-2)\\ \vdots \\(r-2,2)\\(r-1,1)\\(r,0)\\\text{where } 1\le r\le m$$ Existe una evidente simetría inherente, es decir, si $(x_1,y_1)$ es una posibilidad, entonces también lo es $(y_1,x_1)$ . Esto es lo que me llevó a pensar que la probabilidad de escoger una corbata de color negro del segundo armario es exactamente $\frac{1}{2}$ ya que no encontré ninguna razón para inclinarme por ninguno de los colores. ¿Es una buena intuición?

¿Cómo evaluaríamos formalmente $$\mathbf P(\text{Black tie is picked from }W_2) = ?$$ Se me ocurre lo siguiente: $$\mathbf P(\text{Black tie is picked from }W_2) = \sum_{r=1}^m \mathbf P(\text{Black tie is picked from }W_2|r^{\text{th}} \text{ face appears on the die})$$ Edición: Sigo buscando un argumento formal.

Answer 1

La probabilidad es ${1\over2}$ por simetría: Cualquier cálculo que hagas para responder a la pregunta para "negro" también es válido para tu amigo, al que se le pidió que calculara la probabilidad para "azul".

Answer 2

Aplique la fórmula del Valor esperado para una variable aleatoria binomial r ~ E(r) = P(r) * r , donde P(r) es la probabilidad de éxito, r es el número de ensayos.

Si eliminamos r corbatas al azar de W1 con m corbatas negras y m azules, esperamos que $\frac{m}{m+m}r $ = $\frac{1}{2 }r $ corbatas azules y $\frac{m}{m+m}r$ = $\frac{1}{2 }r $ corbatas negras quitadas.

Del mismo modo, si elegimos 1 empate al azar de W2, esperamos que $\frac{r/2}{r/2+r/2}x1=\frac{1}{2 }$ corbata negra elegida, o la probabilidad de elegir una corbata negra es $\frac{1}{2}$ .