Constructibilidad de las raíces de un polinomio

Question

Estoy tratando de decidir si las raíces del polinomio $f(x) = x^4+x^3-2x^2 +x +1$ es construible.

Mi primera idea fue demostrar que el polinomio f es irreducible en $\mathbb{Q}$ entonces para cualquier raíz $\alpha$ de $f$ tendremos $[\mathbb{Q}(\alpha): \mathbb{Q}] = 4$ y entonces será construible.

El problema es que no he podido demostrar que $f$ es irreducible, porque eisenstein no es aplicable, y tampoco ninguna otra técnica que yo conozca (nótese que es reductible sobre $\mathbb{Z}_2$ por ejemplo).

Gracias por cualquier adelanto.

Answer 1

Es bastante fácil comprobar que $f(\pm 1) \neq 0$ . Este implica que $f$ no tiene factores de grado $3$ por lo que o bien es irreducible o bien es el producto de dos polinomios cuadráticos (irreducibles).

En ambos casos, el grado de las raíces de $f$ es una potencia de $2$ por lo que son construibles.

Answer 2

En efecto $f$ es irreducible: de lo contrario, sería reducible moodulo $3$ ? Pero modulo $3$ , $f(x)=x^4+x^3+x^2+x+1$ que no puede factorizar como $(x^2+ax+b)(x^2+a'x+b')$ . Identificando los coeficientes, se obtiene en primer lugar $bb'=1$ lo que implica $b=b'=\pm1$ entonces $a+a'=1$ .

Las ecuaciones restantes son $aa'+2b=1$ y $b(a+a')=1$ . Así que $b+b'=-1$ es incompatible con la segunda ecuación, y finalmente tenemos que resolver $$s=a+a'=1,\enspace p= aa'=-1.$$ Se trata de un problema clásico sobre ecuaciones cuadráticas. Sabemos que si haye soluciones, son las raíces de la ecuación cuadrática $x^2-sx+p=x^2-x-1=0$ que no tiene raíz sobre $\mathbf F_3$ .

Así $f(x)$ es irreducible módulo $3$ y * fortiori*, es irreducible en $\mathbf Z$ .