Transformada de Mellin de $f(1-x)$

Question

La transformada de Mellin de f(x) se define como sigue:
$$M[f(x);s]=\int_0^\infty x^{s-1}f(x) dx\ = F(s)$$ Esta transformada integral obedece a varias propiedades agradables (y fáciles de demostrar), como: $$M[x^n f(x);s] = F(s+n)$$ $$M[f(x^p);s] = \frac{1}{p}F(s/p) $$ ¿Existe una propiedad similar para la transformada de Mellin de $f(1-x)$ $$ M[f(1-x);s] = \int_0^\infty x^{s-1}f(1-x) dx\ $$ en términos de $F(s)$ ?

Answer 1

No. Para empezar, la mayoría de los valores de $f(x)$ en la integral de $F(s)$ son completamente diferentes de los valores de $f(1-x)$ en $M(f(1-x))$ el primero toma valores de $f([0,\infty))$ mientras que el segundo utiliza $f((-\infty,1])$ .