Supongamos que la estrella de neutrones es esféricamente simétrica, por ejemplo, ignorando los efectos de la rotación. Entonces, para una trayectoria radial en el espaciotiempo de Schwarzschild resultante, el cálculo en realidad no es del todo erróneo, aunque hay que tener cuidado al interpretarlo.
La razón es que las órbitas en un espaciotiempo de Schwarzschild tienen un potencial efectivo que conserva un análogo de la energía orbital específica: $$\mathcal{E} = \frac{1}{2}\left(\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right)^2 - \frac{GM}{r} + \frac{l^2}{2r^2} - \frac{GMl^2}{c^2r^3}\text{,}$$ donde $l$ es el momento angular específico. La diferencia con el caso newtoniano es que $r$ es la coordenada radial de Schwarzschild, no la distancia radial, y $\tau$ es el tiempo propio de la partícula en órbita, no el tiempo absoluto, y por último, el último término no existe en la gravedad newtoniana.
Para una órbita radial, $l = 0$ . Por lo tanto, si por $v$ te refieres a la tasa de cambio en la coordenada radial de Schwarzschild con respecto al tiempo propio de la partícula, entonces el cálculo newtoniano es realmente correcto: $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}\tau}\right| = \sqrt{\frac{2M}{r}}\text{.}$$ Sin embargo, si $v$ significa otra cosa, como la tasa de cambio de la coordenada radial de Schwarzschild con respecto al tiempo de Schwarzschild $t$ entonces $$\left|\frac{\mathrm{d}r}{\mathrm{d}t}\right| = \left(1-\frac{2M}{r}\right)\sqrt{\frac{2M}{r}}\text{.}$$ Por último, la velocidad medida por un observador estacionario en una coordenada radial de Schwarzschild dada puede calcularse mediante un producto interior entre la cuatro-velocidad del observador estacionario $\left(1/\sqrt{1-2M/r},0\right)$ y la cuatro-velocidad de la partícula $\left(1/(1-2M/r),\pm\sqrt{\frac{2M}{r}}\right)$ pero en este caso, afortunadamente, resulta ser igual a $\mathrm{d}r/\mathrm{d}\tau$ : $$\left|v_s\right| = \sqrt{\frac{2M}{r}}\text{.}$$
