El límite del término de la secuencia no siempre es positivo

Question

Que la secuencia $a_n=\frac{3^n+2(-4)^n}{(-4)^n-2^n}$ .

Tenemos $$\frac{3^n+2(-4)^n}{(-4)^n-2^n}=\frac{3^n+2(-1)^n 4^n}{(-1)^n 4^n-2^n}=\frac{(-1)^n 4^n \left( 2+ \frac{3^n}{(-1)^n 4^n}\right)}{(-1)^n 4^n \left( {1-\frac{2^n}{(-1)^n 4^n}}\right)}$$

En este caso la ineqaulidad $-1 \leq (-1)^n \leq 1 \Rightarrow -4^n \leq (-1)^n 4^n \leq 4^n$ no ayuda, ya que no podemos tener una desigualdad con estos términos como denominadores, porque no sabemos si $(-1)^n 4^n$ es positivo o negativo. ¿Verdad?

¿De qué otra forma podemos calcular el límite de la secuencia?

Answer 1

Usted tiene \begin{align} \frac{3^n+2(-4)^n}{(-4)^n-2^n} &=\frac{3^n}{(-4)^n-2^n}+\frac{2(-4)^n}{(-4)^n-2^n}\\ \ \\ &=\frac{3^n}{4^n((-1)^n-(1/2))^n}+\frac{2}{1-2^n/(-4^n)}\\ \ \\ &\to 0+2=2 \end{align}