Objetos geométricos cuyos volúmenes son fracciones de poderes de sus tamaños

Question

Mientras que el estudio de las propiedades de las espumas (imaginar burbujas de jabón o microscópico mallas/redes), empecé a preguntarme sobre la relación entre el volumen ocupado por la materia $V_s$ sí y el volumen total $V_a$ de una muestra de espuma (materia+huecos). Dos longitudes de caracterizar a estos objetos: el tamaño de cada poro $l_a$ y el espesor de la $l_s$ de la materia que encierra un poro.

Usted puede imagen de espuma, como una pila de cubos (de los poros). Cuando se suponga que cada poro está completamente cerrada por paredes de la materia, se puede obtener $V_s/V_a\propto l_s/l_a$. Cuando se suponga que cada poro está completamente abierta, de tal manera que los filamentos están unidos entre sí y formando una especie de red, se puede obtener $V_s/V_a\propto (l_s/l_a)^2$. Esto es fácil de imaginar, y viene de forma natural en el hecho de que las formas geométricas básicas tienen un volumen proporcional a los poderes de las distancias típicas.

Ahora, muchas de las espumas de exhibición $V_s/V_a\propto (l_s/l_a)^k$ donde $k$ es fraccionario, entre el 1 y el 2. Esto significa que los volúmenes no son proporcionales a potencias enteras de los tamaños característicos en el problema.

¿Cómo es eso posible? Hay un ejemplo visual de esta situación? Parece relacionados a los fractales sin embargo no puedo precisar cómo.

Estoy buscando un no-respuesta técnica como yo no soy un matemático. Tengo conocimientos básicos sobre los fractales.

ACTUALIZACIÓN Siguiendo algunas de las respuestas que ya se han propuesto, me resulta difícil imaginar un objeto fractal que no introduce otra longitud (de $l_a$$l_s$). La iteración del fractal que se sigue produciendo más de una longitud algo relacionado con cada uno de los otros. Entonces, ¿cómo es posible definir sólo un $l_s$ en estas condiciones?

Answer 1

Me gusta este problema y la manera de conseguir a los fractales como un no matemático. Usted está casi allí.

Puede haber muchos modelos de cómo la materia que rodea a una espora.

Modelo 1 (superficie plana): un cubo grande (tamaño ls+la) encierra una (sólo un poco) cubo más pequeño (tamaño de la), el más pequeño cubo está vacío. El volumen de la materia es $Vs=(ls+la)^3 - la^3$, e $Vs/Va = ls/la$ (en primera aproximación + extracción constantes), que están a la derecha.

Modelo 2 (cadenas): sólo cadenas de diámetro de la ls y la longitud de la, uniendo los vértices del cubo (tamaño de la). $Vs=la * ls^2$ $Va=la^3$ . Esta vez $Vs/Va=(ls/la)^2$ (de nuevo, no incluyendo constantes y esta es una aproximación al $ls/la -> 0$)

Modelo 3 (soap): la materia es una burbuja de jabón. Es gruesa en los límites (los vértices) y no de espesor en el centro del cubo, como un 2d parabole. La ecuación de la espesor de la es $1 - 16 * x *(1-x) * y*(1-y)$ en el cubo de tamaño 1 (sólo cambiar la escala de x -> x*la e y> y*la). Sólo estoy inventando aquí, yo no he leído ninguno de los papeles, pero también podría ser la solución de una ecuación diferencial parcial con límites fijos, como un laplaciano=0 ecuación, o sea, que las ESCALAS, yo.e la forma de la materia será la misma si el cubo es grande o pequeña. Entonces usted va a terminar encima de tener $Vs/Va=(ls/la)^2$. Para un (simple) demostración de ello, considerar que la ecuación de la densidad es f(x, y) con $x in [0, 1] and y in [0, 1]$ y el volumen es $integral(integral(f(x, y) dxdy))$. Cuando se aplica esto a la espuma que se tiene que cambiar la escala, lo que significa que x -> la*x, etc, etc y el volumen es ls * la * la * C, C=integral sobre [0,1]x[0,1]. Aproximadamente diciendo aquí que usted elija la forma de su materia, a continuación, cuando se reduce, la proporción de estancias (por supuesto) de la misma.

El modelo 4 (fractal) : en lugar de un jabón parabole usted decide tener un espesor constante distribuida de manera uniforme en un fractal dibujado en el cubo de la cara (si no el de la imagen que voy a editar algo, pero debe ser fácil de imaginar. Sólo pensar de un fractal (como el triángulo de sierpinsky) y el color en la cara de un cubo, y imagino que hay es 1 pulgada de espesor, donde es de color y nada en la cara a otra parte. Vs=ls * FractalArea(la) y Va=la^3. La cosa con los fractales es que su longitud, área o volumen no siguen la costumbre de la geometría de las reglas. Si usted tiene un cuadrado y multiplicar su longitud por x, su área se multiplica por x^2 (debido a que la dimensión 2). Si se trata de un cubo, el volumen se multiplica por x^3. Con fractal de dimensión d, el área se multiplica por x^d. Así que cuando el tamaño de la espora y $ls/la -> 0$, FractalVolume(la) va como ls * la^d con d entre 2 y 3 (porque este es un fractal dibujado en 2d de la superficie del cubo). Por lo $Vs/Va = ls*la^d / la^3 = ls / la^(3-d)$. Esto no es exactamente su fórmula, pero Im no un fractal especialista ni una espuma de especialista y el modelo no está bien aquí, lo que he descrito es imposible en la realidad (espesor constante). Si el espesor de la era "fractalian" también podríamos tener otra fórmula. Pero aún así vemos que los fractales se puede doblar la relación y tienen su dimensión en la ecuación.

Si esto es demasiado estirada, imagínate esto : Porque los modelos 1 y 2 son los extremos (de superficie constante = materia en 2 dimensiones = potencia de 2 en el aprox vs superficial, no = la materia a lo largo de 1 dimensión = potencia de 1 en aprox) te puedes imaginar que cuando la distribución de la materia está en entre este (mucho en los bordes, y no tanto en el centro de las caras -> string -> potencia de 1+smthg, un montón por todas partes -> potencia de 2-smthg) usted consigue una potencia constante de entre el 1 y el 2 (si la distribución es fractalian). Si la distribución es nada en la superficie, que sigue alguna ecuación, incluso complicado como cos(x)*sin(y)^2, usted tendrá la (ls/la)^2. La diferencia entre los fractales y 2d ecuaciones es que la "f(x, y)" los cambios cuando se reduce el tamaño de la espuma y del cubo (haciendo ls y la -> 0), de modo que en cada paso es de la forma Vs/Va=C(ls, la)(ls/la)^2, pero la constante C(ls, la) cambiará con el tiempo, cada vez más si el fractal toma más y más espacio (grandes dimensiones), menos si es más corto y en cortocircuito. Y es este efecto que consigue factorizados en el poder

Espero que sea claro, no dudes en comentar

http://en.wikipedia.org/wiki/Fractal_dimension

Answer 2

Vihart tiene un par de videos recientes en fractales y cosas como el tamaño y longitud de los relacionados con ellos. Aparte de ser muy entretenidos vídeos sí creo que se puede tener una idea de tu problema.

Los garabatos en la Clase de Matemáticas: Dragon Mazmorras

Los garabatos en la Clase de Matemáticas: Escamas de Dragón

La última parte habla sobre todo de cómo los fractales' longitudes, áreas y volúmenes de escala cuando se expanda.

Answer 3

Esto va a ser más de una representación gráfica de la respuesta, y voy a dejar fuera de las matemáticas. Esperemos que es más esclarecedor de esta manera. Hay dos maneras que usted puede considerar la posibilidad de ampliar su fractal, en 2 dimensiones y 3. Si nos fijamos únicamente en el caso de que nuestro "burbujas" son en realidad los cubos, lo que hace que este argumento más simple a ver, tenemos estas fotos de ambos tipos. Vamos a una iteración ser, de 2 dimensiones, dividiendo cada área en 4 partes iguales. Para 3 dimensiones, vamos a una iteración a dividir nuestros cubos en 8 partes iguales. A continuación están las cuatro primeras iteraciones de 2 y 3 dimensiones.

Tanto de las 2 dimensiones y 3 dimensiones fotos son de la forma que usted ha mencionado donde estamos "abiertos" y por lo tanto da una proporción de $V_s/V_a \leftrightarrow (l_s/l_a)^2$. La otra opción es el uso de cubos con sólidos lados, lo que le da la $V_s/V_a \leftrightarrow (l_s/l_a)$ (No se muestra.) Uno realmente no tiene que estirar su imaginación para ver que si tomamos el límite de las 2 dimensiones de las plazas repetimos el fractal, que acabaría con un cuadrado sólido. Así, para aumentar la potencia de nuestro proporción, queremos hacer nuestro 2 dimensiones de los cuadrados de un mayor iteración, PERO, queremos mantener nuestras 3 dimensiones de la iteración inferior. Esto nos dará un mayor valor de $V_s$$l_s$, pero mantener nuestra $V_a$ $l_a$ de la misma. La diferencia es que sabemos que esto debe llevarnos a una potencia más baja, porque si nos vamos a los lados, o 2 dimensiones de las piezas tienden hacia el sólido plazas, debemos lograr que nuestros $V_s/V_a \leftrightarrow (l_s/l_a)$ relación. Como este es, en cierto sentido, continuo y bien portados, vemos que entre los pasos dará $V_s/V_a \leftrightarrow (l_s/l_a)^k$$1\leq k \leq 2$. (Aquí está un recorte de distancia de la imagen a mostrar lo que quiero decir. Este sería el 3 dimensiones de la iteración de hecho una vez y el 2 dimensiones de la iteración hecho dos veces después de eso).

Esto nos dice que por un azar de la espuma, vamos a obtener una potencia fraccionaria proporción en relación al aumentar el número de divisiones de las superficies del área de las burbujas y no dividir el volumen de contenidos en ellos, como mucho. Uno más de la imagen, lo que podría ayudar. Considerar que todos los colores de la sección de la esfera a ser una subdivisión, o "2 dimensiones" de la iteración, manteniendo el volumen contenido en la misma.