Supongamos que tenemos un $n \times n$ tabla en la que cada fila y cada columna suman algún número $k$ . Digamos que los elementos de la tabla y $k$ son números reales. Ahora la pregunta es cuántos lugares podemos rellenar en la tabla de forma que los lugares restantes se puedan rellenar de forma que las sumas sean correctas. Esto es lo que llamamos grado de libertad. La parte superior izquierda $(n - 1) \times (n - 1)$ El subrectángulo puede rellenarse de cualquier manera y siempre podemos ampliarlo hasta una buena solución, de modo que el grado de libertad sea al menos $(n - 1)^2$ . También debe faltar un elemento en cada fila y en cada columna. Así que el grado de libertad es como máximo $n^2 - n$ . He leído que el grado de libertad es $(n - 1)^2$ pero no había pruebas apoyadas y hasta aquí he llegado. ¿Podría alguien darme una pista sobre esto?
Respuesta
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Así que tengo una solución usando álgebra lineal. Tenemos que resolver las siguientes ecuaciones lineales (sumas de filas):
$$\forall i \in 1\dots n \sum_{j = 1}^{n}x_{i,j} = k$$
y(suma de columnas)
$$\forall j \in 1 \dots n \sum_{i = 1}^{n}x_{i, j} = k$$
Si queremos demostrar la afirmación tenemos que demostrar que la matriz aquí tiene rango $2n - 1$ . Es fácil ver que el primer $n$ son independientes. Lo mismo ocurre con la segunda $n$ ecuaciones. Lo siguiente también es cierto:
$$\sum_{i=2}^{n}\sum_{j=1}^{n}x_{i, j} - \sum_{j=1}^{n}\sum_{i=1}^{n}x_{i,j} = \sum_{j=1}^{n}x_{1,j}$$
Básicamente esto significa que la suma de la primera fila es igual a la siguiente $n - 1$ sumas de filas menos las sumas de columnas. Para mayor claridad, la matriz de $n = 3$ tiene este aspecto (cuando las variables están en orden continuo de fila):
$$\begin{matrix} 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 & 0 & 0 & 0 \\ 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 0 & 1 & 1 & 1 \\ 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 \\ 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 \\ 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 & 0 & 0 & 1 \\ \end{matrix} $$
Y supongo que es fácil ver que el resto de la $2n - 1$ filas son independientes desde la última $n$ las filas tienen un único elemento en la primera $n$ columnas de la matriz y las filas $2$ a $n$ son todos ceros en estas columnas.
