Cómo demostrar que $\{ f_n \}_{n=1}^{\infty} $ es localmente convergente uniforme, cuando $f_n (z) = \sum_{k = -n}^{k=n} \frac{1}{z+k} $ ?

Question

Sea $D = \mathbb{C} \backslash \mathbb{Z}$ . Además, defina $f_n : D \to \mathbb{C} $ como: $$ f_n (z) = \sum_{k = -n}^{n} \frac{1}{z+k} ,$$ en el que $z \in D$ y $n \in \mathbb{Z}_{>0} $ . ¿Cómo demostramos que $\{ f_n \}_{n=1}^{\infty} $ converge localmente uniforme en $D$ ?

Sé que una serie de funciones $f_0 + f_1 + f_2 + \dots + f_n$ se llama localmente uniformemente convergente, cuando la secuencia de sumas parciales $S_n := f_0 + f_1 + f_2 + \dots $ es localmente convergente de manera uniforme.

Esto es lo que he intentado: Definir $g_n = \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n} $ . Entonces: $S_n = \sum_{n=1}^{\infty} g_n $ . Tenemos que demostrar que $S_n$ converge localmente de manera uniforme.

Pero también: $ g_n (z) = | \frac{1}{z-n} + \frac{1}{z+n} | = | \frac{z+n}{(z+n)(z-n)} + \frac{ z-n}{ (z+n)(z-n) } | = | \frac{2}{z -\frac{n^2}{z} } | .$

Pero ¿cómo demuestro ahora que $S_n$ es localmente unformemente convergente? Parece que las pruebas de convergencia no funcionan, y no me parece muy fácil compararlo con, digamos, $\sum_{n=1}^{\infty} \frac{1}{n^2} .$ ¿Qué hacer a continuación?

Answer 1

Tu idea era buena, pero es mejor escribir $g_n(z)=\dfrac{2z}{z^2-n^2}$ . Este denominador puede ser un problema cuando $z\approx n$ . Pero cuando estudiamos la convergencia, sólo necesitamos considerar grandes $n$ y nosotros decidimos qué significa "grande". Por ejemplo, podemos elegir tratar sólo con $n\ge 2|z|$ . En este caso $$|z^2-n^2| \ge n^2 -|z|^2 \ge \frac{3}{4}n^2$$ Por lo tanto, el máximo de $|g_n|$ en el disco $|z|\le R$ no supera $\dfrac{2R}{\frac34 n^2}$ siempre que $n\ge 2R$ . El resto debería estar claro.