¿Podemos hallar la inversa de un vector?

Question

¿Podemos invertir un vector como hacemos con las matrices, y por qué?

No he visto en ningún curso de álgebra lineal el concepto de "inversa vectorial", y me preguntaba si existe tal cosa, y si no, por qué.

Answer 1

La inversa de un objeto $a$ sobre alguna operación $@$ con identidad $e$ es el objeto $a^{-1}$ tal que $a@a^{-1} = a^{-1}@a= e$ . $e$ debe ser tal que dado cualquier objeto $b$ , $b@e=e@b=b$ . Definición fuera del camino, vamos a hablar de algunas operaciones:

Suma de vectores tiene una inversa obvia: como sumar vectores es simplemente lo mismo que sumar sus componentes en la base que a uno le dé la gana, la inversa aditiva de $v$ tiene lo contrario de esos componentes. Pero eso es simplemente $-v$ .

Multiplicación escalar no tiene un vector inverso razonable, porque las entradas son necesariamente de dos grupos diferentes.

Producto de puntos no proporciona elementos inversos, porque el resultado de un producto punto no es un vector. Si bien es posible llegar a un vector tal que $a\cdot b=1$ existe un número infinito de tales vectores, uno por cada $c$ tal que $a\cdot c=0$ .

Producto cruzado tampoco proporciona elementos inversos: para cualquier vector distinto de cero $a$ , $a\times b = c$ tiene muchos valores posibles para $b$ que dan el mismo $c$ .

Transformación lineal no proporciona inversos para el vector: de nuevo, las entradas deben ser necesariamente de dos grupos diferentes.

Multiplicación por componentes $(a,b,c)(d,e,f)=(ad,be,cf)$ aunque proporciona un inverso (recíproco de cada uno de los componentes), tiene enormes cantidades de resultados no invertibles (en cualquier lugar donde uno de los componentes sea $0$ ), y la inversa cambia en función de la base elegida.

Esas son las que se me ocurren. Seguro que otros conocen más operaciones que yo.

Answer 2

Depende de lo que entienda por "inverso". Inverso en relación con la operación de suma es simplemente el negativo del vector $-v$ . Porque trivialmente $v + (-v) = 0$ .

Answer 3

En algunas aplicaciones (por ejemplo, los métodos de extrapolación), se suele considerar lo que se denomina el Inversa de Samelson de un vector:

$$\mathbf v^{(-1)}=\frac{\bar{\mathbf v}}{\bar{\mathbf v}\cdot\mathbf v}=\frac{\bar{\mathbf v}}{\|\mathbf v\|^2}$$

(donde la barra denota conjugación compleja), que puede demostrarse fácilmente que satisface $\mathbf v^{(-1)}\cdot\mathbf v=\mathbf v\cdot\mathbf v^{(-1)}=1$ (las condiciones de Moore-Penrose vestidas de vector). (Como siempre, $\mathbf v\neq\mathbf 0$ .)

Algunas referencias que utilizan este inverso son este , este y este .

Answer 4

Quizá esta definición del vector inverso te ayude:

Un vector rectilíneo inverso a' es un vector codirigido (en la misma dirección que) un vector a y difiere de ella en magnitud según: $$ |\bar{a'}|=\dfrac{1}{|\bar{a}|} $$ Las proyecciones sobre los ejes de coordenadas de los vectores rectilíneos inversos son iguales según: $$\quad a'_{x}=\dfrac{a_{x}}{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}};\quad a'_{y}=\dfrac{a_{y}}{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}};\quad a'_{z}=\dfrac{a_{z}}{a_{x}^{2}+a_{y}^{2}+a_{z}^{2}} $$ Aquí encontrará un ejemplo de resolución de problemas con este vector https://en.wikipedia.org/wiki/Talk:Cross_product#Cross_product_does_not_exist https://doi.org/10.5539/jmr.v9n5p71

En esta nueva definición, con los vectores inversos se pueden hacer las mismas acciones que con los vectores convencionales (suma, multiplicación por número, producto punto, producto cruz). En este caso, el producto punto y el producto cruz nos permiten obtener la división de vectores (un análogo de la división aritmética). Podemos llevar el vector a través del signo = como en aritmética. Estas acciones permiten resolver problemas que antes no se podían resolver. Por ejemplo, hallar la fuerza a partir del par en forma coordenada-vectorial.