Resuelva $f^2(x)=\frac{k}{f''(x)}$

Question

Estudiando física me he topado muchas veces con fuerzas que se ven directamente afectadas por la posición de una partícula. Además $f(x)$ cómo podríamos abordar la resolución de la ecuación: $$f^2(x)=\frac{k}{f''(x)}$$ Soy nuevo en ecuaciones diferenciales y realmente agradecería si alguien pudiera explicar el proceso de pensamiento y los pasos necesarios para llegar a una solución. Gracias de antemano.

Answer 1

Pues bien, tenemos que (multiplicar ambos lados por $\text{f}\space'\left(x\right)$ ):

$$\text{f}\left(x\right)^2=\frac{\text{k}}{\text{f}\space''\left(x\right)}\space\Longleftrightarrow\space\int\text{f}\space'\left(x\right)\text{f}\space''\left(x\right)\space\text{d}x=\int\text{f}\space'\left(x\right)\cdot\frac{\text{k}}{\text{f}\left(x\right)^2}\space\text{d}x\tag1$$

Conseguimos, cuando usamos:

• $$\int\text{f}\space'\left(x\right)\text{f}\space''\left(x\right)\space\text{d}x=\frac{\text{f}\space'\left(x\right)^2}{2}+\text{C}_1\tag2$$
• $$\int\text{f}\space'\left(x\right)\cdot\frac{\text{k}}{\text{f}\left(x\right)^2}\space\text{d}x=\text{C}_2-\frac{\text{k}}{\text{f}\left(x\right)}\tag3$$

Así que..:

$$\frac{\text{f}\space'\left(x\right)^2}{2}=\text{C}_3-\frac{\text{k}}{\text{f}\left(x\right)}\space\Longleftrightarrow\space\int\frac{\text{f}\space'\left(x\right)}{\sqrt{\text{C}_3-\frac{2\text{k}}{\text{f}\left(x\right)}}}\space\text{d}x=\int\pm1\space\text{d}x=\text{C}_4\pm x\tag4$$

Para el intergal, sustituir $\text{u}=\text{f}\left(x\right)$ :

$$\int\frac{\text{f}\space'\left(x\right)}{\sqrt{\text{C}_3-\frac{2\text{k}}{\text{f}\left(x\right)}}}\space\text{d}x=\int\frac{1}{\sqrt{\text{C}_3-\frac{2\text{k}}{\text{u}}}}\space\text{d}\text{u}\tag5$$

Answer 2

El procedimiento general es el siguiente: $$f^2(x)=\frac{k}{f''(x)}$$ $$\implies f''(x)=\frac{k}{f^2(x)}$$ $$\implies 2f'\cdot f''(x)=\frac{k}{f^2(x)}\cdot 2f'$$ $$\implies (f'^2)'=-2k\cdot \left(\frac{1}{f}\right)'$$ Dónde $'$ significa derivada de primer orden con respecto a $x$ y $"$ significa derivada de segundo orden con respecto a $x$

Así que integrando, obtenemos $$f'^2=-\frac{2k}{f}+c$$ $$\implies f'=\sqrt{c-\frac{2k}{f}}$$ $$\implies \frac{df}{\sqrt{c-\frac{2k}{f}}}=dx$$

¿Puede integrar esto ahora?

Espero que esto te ayude.

Answer 3

Junto con la brillante respuesta de Jan EerLand. $$ f''= f'\frac{d}{df}f' = \frac{k}{f^2} $$ Nota al margen: La primera igualdad es el resultado de mis días de estudiante de física. $$ \frac{d}{df}\frac{f'^2}{2} = \frac{k}{f^2} $$ o $$ \frac{f'^2}{2} = \int \frac{k}{f^2} df + C = -\frac{k}{f} + C $$ entonces puedes reordenar y seguir la respuesta de Jan.

Answer 4

Poner $y = f(x)$ tenemos $$y^{\prime\prime} = \frac{k}{y^2}.$$ Ahora multiplicando ambos lados por $2y^\prime$ obtenemos $$2y^\prime y^{\prime\prime} = \frac{2ky^\prime}{y^2},$$ que puede reescribirse como $$\left( \left( y^\prime \right)^2 \right)^\prime = \frac{2ky^\prime}{y^2} = \frac{\mathrm{d}}{\mathrm{d} x} \left( - \frac{2k}{y} \right),$$ que al integrar ambos lados da $$ \left( y^\prime \right)^2 = c -\frac{2k}{y},$$ donde $c$ es una constante de integración arbitraria. Así que $$ y^\prime = \left( c -\frac{2k}{y} \right)^{\frac{1}{2}},$$ y por lo tanto $$ \frac{y^\prime }{ \left( c -\frac{2k}{y} \right)^{\frac{1}{2}} } = 1,$$ que podemos reescribir como $$ \frac{ y^\frac{1}{2} y^\prime }{\left( cy - 2k \right)^\frac{1}{2} } = 1, $$ o $$ \frac{1}{c^\frac{1}{2}} \left( \frac{y}{ y - \frac{2k}{c} } \right)^\frac{1}{2} y^\prime = 1.$$ ¿Puedes cogerlo de aquí en adelante?