Para simplificar, $T =$ toroide, $M =$ Banda de Mobius, $K =$ Botella Klein, y $P = \Bbb RP^2$ .
Me gustaría saber por qué $T \# M \cong K \# M$ . Sé que $K = P \# P$ .
La solución dice $T \# M \cong T \# P$ y $K \# M \cong K \# P$ pero tampoco entiendo estos homeomorfismos.
En general, es cierto que para cualquier superficie $S$ ,
$$S \# M \cong S \# P.$$
La razón es que $P$ puede formarse pegando una célula de dos a $M$ a lo largo del límite de las dos células y la de $M$ .
Así que cuando construyas $S\# P$ , cortas una célula de dos $D_S$ en $S$ una célula de dos $D_P$ en $P$ y luego pegar a lo largo del límite. Ahora cuando cortes $D_P$ en $P$ tienes una tira de Mobius $M$ entonces se pega el límite de este $M$ hasta el límite del $D_S$ en $S$ que es exactamente como se forma $S \# M$ .
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