¿Necesito $|u|=1$ demostrar $D_uf(a)=\langle \nabla f(a),u\rangle$

Question

Estoy leyendo esto Libro y me gustaría saber dónde utilizan los autores el hecho de $|u|=1$ en la prueba.

Answer 1

Se utiliza en la primera ecuación, que es independiente, a saber $$\frac{f(a+tu)-f(a)}{t}-\left<\nabla f(a),u\right>=\frac{|t|}{t}\epsilon(a+tu)\|u\|=\frac{|t|}{t}\epsilon(a+tu),$$ pero no necesitas hacer esto allí.

Answer 2

Aviso $\|tu\|=|t|$ sólo si $\|u\|=1$ (para $t\neq 0$ pero tomamos el límite como $t\to 0$ así que no importa).

Cuando pasas de $f(a+tu)=f(a)+\langle\nabla f(a),u \rangle +\epsilon(a+tu)\|tu\|$ a la línea siguiente, necesita precisamente que $\|tu\|=|t|$