Factoring $x^{4} +1$ utilizando factorización real de segundo grado

Question

Factorización de segundo grado con números reales

$$x^{4} +1$$

Sé que $x^{4} +1=(x^{2} + i)(x^{2}-i).\;$ Pero estos son complejos, pero pensé que usar estos de alguna manera? ¡No llegué a ninguna parte!

Y luego traté de adivinar, dos soluciones son $\pm (-1)^{1/4},\,$ que me dio $(x-\sqrt{i})(x+\sqrt{i}).\;$ Pero tengo la sensación de que estoy muy equivocado aquí...

Hmm... ¡Pensando!

¿Qué tipo de técnicas utiliza?

Answer 1

CONSEJO : $$x^4+1+\color{red}{2x^2}-\color{red}{2x^2}=(x^4+2x^2+1)-2x^2=(x^2+1)^2-(\sqrt 2x)^2$$

Answer 2

Sugerencia: Escriba $x^4 + 1 = (x^2 +1)^2 - (\sqrt{2}x)^2$

Answer 3

Su planteamiento empieza perfectamente bien: usted do tienen

$$x^4 + 1 = (x + \sqrt{\mathbf{i}})(x - \sqrt{\mathbf{i}})(x + \sqrt{-\mathbf{i}})(x - \sqrt{-\mathbf{i}})$$

Sólo tienes que agruparlas en pares conjugados: (supongo que tomas las raíces cuadradas principales)

$$x^4 + 1 = \left( (x + \sqrt{\mathbf{i}})(x + \sqrt{\mathbf{-i}}) \right)\left( (x - \sqrt{\mathbf{i}})(x - \sqrt{\mathbf{-i}}) \right)$$ $$x^4 + 1 = \left( x^2 + (\sqrt{\mathbf{i}} + \sqrt{-\mathbf{i}}) x + 1 \right) \left( x^2 - (\sqrt{\mathbf{i}} + \sqrt{-\mathbf{i}}) x + 1 \right)$$

La única simplificación que queda es que se puede calcular

$$\sqrt{\mathbf{i}} + \sqrt{-\mathbf{i}} = \sqrt{2}$$

Answer 4

Factor $x^4+1$ en $\mathbb{C}[x]$ : $$\left(x-e^{\pi i/4}\right)\left(x-e^{3\pi i/4}\right)\left(x-e^{-3\pi i/4}\right)\left(x-e^{-\pi i/4}\right)$$ A continuación, empareja los factores conjugados: $$\left(x-e^{\pi i/4}\right)\left(x-e^{-\pi i/4}\right)=x^2-\sqrt2\,x+1$$ y $$\left(x-e^{3\pi i/4}\right)\left(x-e^{-3\pi i/4}\right)=x^2+\sqrt2\,x+1$$ Por lo tanto, $$x^4+1=\left(x^2-\sqrt2\,x+1\right)\left(x^2+\sqrt2\,x+1\right)$$

Answer 5

Escribe la ecuación de la siguiente forma

$$(x^2+a_1x+a_2)(x^2+b_1x+b_2)=x^4+1$$ $$x^4+(a_1+b_1)x^3+(a_1b_1+a_2+b_2)x^2+(a_1b_2+a_2b_1)x+a_2b_2=x^4+1$$

Comparando los coeficientes con la ecuación principal obtenemos

$a_1+b_1=0$

$a_1b_1+a_2+b_2=0$

$a_1b_2+a_2b_1=0$

$a_2b_2=1$

y resolver para $a_1,a_2,b_1,b_2$