Para un problema de deberes, tengo que demostrar que para una muestra aleatoria $X_1, \ldots, X_n$ extraído de una población con varianza finita $\sigma^2$ con media muestral $\bar{x}$ y la varianza muestral $s^2$ que $E(S) \leq \sigma$ y si $\sigma^2 > 0$ , $E(S) < \sigma$ .
La primera parte de la afirmación es una aplicación directa de la desigualdad de Jensen: puesto que $g(x) = x^2$ es convexa en todas partes, $E(S^2) = \sigma^2 \geq (E(S))^2 \implies \sigma \geq E(S)$ .
Sin embargo, no estoy seguro de cómo demostrar la segunda parte de la afirmación. Tengo que $\sigma^2 > 0$ entonces $0 \geq E(S)$ pero no estoy seguro de si eso ayuda. ¿Existe alguna condición que yo no conozca para que la desigualdad de Jensen sea estricta?
