Estoy estudiando las ecuaciones de Cauchy-Euler de Fundamentos de ecuaciones diferenciales de Nagle et. al. y me he encontrado con el siguiente problema (pg. 454, #9).
\begin{align} x^3y'''\left(x\right)+3x^2y''\left(x\right)+5xy'\left(x\right)-5y\left(x\right)=0,\:\:r>0,\tag{1} \end{align}
y esto es lo que he hecho hasta ahora. Empecé con la sustitución de $y=x^r$ para obtener \begin{align} x^3r\left(r-1\right)\left(r-2\right)x^{r-3}+3x^2r\left(r-1\right)x^{r-2}+5xrx^{r-1}-5x^r=0\tag{2} \end{align} que se simplifica en \begin{align} r^3+4r-5=0.\tag{3} \end{align} (3) tiene un factor de $\left(r-1\right)$ así que quitando eso tenemos \begin{align} \left(r-1\right)\left(r^2+r+5\right)=0,\tag{4} \end{align} y esto nos da una raíz de $r=\left\{1\right\}$ pero para obtener las otras tuve que recurrir a la conocida ecuación cuadrática, resultando \begin{align} r&=\frac{-1\pm\sqrt{1-20}}{2}\\ &=\frac{-1}{2}\pm \frac{i\sqrt{19}}{2},\tag{5} \end{align} y por lo tanto tengo raíces de \begin{align} r=\left\{1,\:\frac{-1}{2}+\frac{i\sqrt{19}}{2},\:\frac{-1}{2}-\frac{i\sqrt{19}}{2}\right\}.\tag{6} \end{align} Usando esto voy a tener que usar el hecho de que \begin{align} y&=x^{\alpha+i\beta}=e^{\left(\alpha+i\beta\right)\log\left(x\right)}\tag{7}\\ &=e^{\alpha\log\left(x\right)}\cos\left(\beta\log\left(x\right)\right)+ie^{\alpha\log\left(x\right)}\sin\left(\beta\log\left(x\right)\right)\tag{8}\\ &=x^\alpha\cos\left(\beta\log\left(x\right)\right)+ix^\alpha\sin\left(\beta\log\left(x\right)\right).\tag{9} \end{align} Por lo tanto, esto (debería) darnos una solución de \begin{align} y=C_1x+C_2x^{-1/2}\cos\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\log\left(x\right)\right)+C_3x^{-1/2}\sin\left(\frac{\sqrt{19}}{2}\log\left(x\right)\right),\:\:r>0,\tag{10} \end{align} si lo he hecho todo correctamente.
¿He cometido algún error en alguna parte que usted pueda ver?
