En $\theta(n)$ = $1/x$ ¿Tiene sentido?

Question

Hoy me han hecho esta pregunta en un examen de estructuras discretas, a la que por lo visto no he prestado suficiente atención:

$f(x) = (5x^2 + 6x + 2)/(x^3 + 4x^2 +x)$

Encuentra la notación theta correcta para la función.

Por lo tanto, creo que es fácil crear un límite superior en torno a $1/x$ ya que podemos demostrar $f(x) \leq 2/x$ para un $x$ . No sé si puede existir un límite inferior ya que $C$ debe ser positivo y tendría que ser cero para un $\Omega(n)$ límite inferior.

En primer lugar, ¿estoy en lo cierto sobre la inexistencia de un límite estricto o me estoy perdiendo algo?

En segundo lugar, ¿es esta la única razón por la que esta es una pregunta tipo Mickey Mouse o qué más me estoy perdiendo aquí? Parece que podría ser posible que un algoritmo en particular para tener un $1/x$ complejidad.

Answer 1

Escriba a $f(x) = g(x)/h(x)$ donde $g(x)$ es el numerador y $h(x)$ es el denominador. Esperemos que todos estemos de acuerdo en que $g(x) = \Theta(x^2)$ y $h(x) = \Theta(x^3)$ por ejemplo, para $x \geq 1$ tenemos $$ 5x^2 \leq g(x) \leq 13x^2 \\ x^3 \leq h(x) \leq 6x^3 $$ De ello se deduce que $f(x) = \Theta(1/x)$ por ejemplo, para $x \geq 1$ tenemos $$ \frac{5}{6} \frac{1}{x} = \frac{5x^2}{6x^3} \leq \frac{g(x)}{h(x)} \leq \frac{13x^2}{x^3} = 13 \frac{1}{x}. $$ El mismo cálculo que hicimos aquí muestra que (abusando de la notación) $\Theta(\alpha(x))/\Theta(\beta(x)) = \Theta(\alpha(x)/\beta(x))$ donde en este caso $\alpha(x) = x^2$ y $\beta(x) = x^3$ .