Utilice $\bar{X}^2$ para probar la hipótesis de que $\mu=0$ porque la tasa de convergencia es más rápida?

Question

Supongamos que tengo $X_1,\ldots,X_n$ son i.i.d. y quiero hacer una prueba de hipótesis de que $\mu$ es 0. Supongamos que tengo n grande y puedo usar el Teorema Central del Límite. También podría hacer una prueba que $\mu^2$ es 0, lo que debería ser equivalente a probar que $\mu$ es 0. Además, $n(\bar{X}^2 - 0)$ converge a un chi-cuadrado, donde $\sqrt{n}(\bar{X} - 0)$ converge a una normal. Dado que $\bar{X}^2$ tiene un índice de convergencia más rápido, ¿no debería utilizarlo para el estadístico de prueba y así obtendré un índice de convergencia más rápido y la prueba será más eficiente?

Sé que esta lógica es errónea, pero llevo mucho tiempo pensando y buscando y no consigo averiguar por qué.

Answer 1

Las dos pruebas que describes son equivalentes.

Si tengo dos hipótesis: $$H_0: \mu=0$$ $$H_1: \mu\neq0$$

son equivalentes a

$$H_0: \mu^2=0$$ $$H_1: \mu^2\gt 0.$$

Si se sabe que los datos son normales, entonces la media muestral $\bar{X}$ también será Normal con media $\mu$ y varianza $\sigma^2/n$ (que puede ser conocido o desconocido).

Si no se sabe que los datos son normales, se puede utilizar el teorema del límite central y lo anterior será cierto asintóticamente. Usted afirma que $\bar{X}^2$ convergerá a una variable chi-cuadrado "más rápido" que $\bar{X}$ convergerá a una normal. Esto es cierto en el sentido de que a medida que $n$ tiende a infinito,

$$P(|\bar{X} - \mu| > |\bar{X}^2 - \mu^2|) \rightarrow 1$$

pero esa no es toda la historia. Estamos realizando una cociente de probabilidad La proporción será la misma tanto si realizamos una prueba ji-cuadrado como si realizamos una prueba normal. (Recordemos que el cuadrado de una variable aleatoria normal sigue una distribución chi-cuadrado). Si la media muestral $\bar{X}$ sale en el percentil 95 de la distribución normal o t pertinente, entonces la suma de los cuadrados será igual al percentil 95 de la distribución normal o t pertinente. $\chi^2$ distribución (que no es el mismo número, pero eso no importa).