Gama de $ \frac{x}{(x-2)(x+1)} $

Question

Buscar rango de $$ y =\frac{x}{(x-2)(x+1)} $$

¿Por qué todos los números son reales?

el denominador no puede ser $0$ Por lo tanto, ¿no se supone que la gama es $y$ no es igual a $0$ ?

Answer 1

La gama es $\mathbb R$ porque para cada $y\in\mathbb R$ existe alguna $x$ tal que $$\frac{x}{(x-2)(x+1)}=y.$$

Por ejemplo, para $y=0$ , tienes $$\frac{0}{(0-2)(0+1)}=\frac{0}{(-2)\cdot 1} = -\frac{0}{2}=0.$$

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Para una $y$ tienes que demostrar que la ecuación anterior tiene solución, lo que puedes hacer multiplicándola por $(x-2)(x+1)$ para obtener

$$x=yx^2 - yx - 2y$$

Esto se puede simplificar aún más a una ecuación cuadrática, y es bastante fácil ver si una ecuación cuadrática tiene solución

( Pista: tiene algo que ver con el discriminante).

Answer 2

Alternativa: la función puede expresarse como la suma: $$y =\frac{x}{(x-2)(x+1)}=\frac13\left(\frac{2}{x-2}+\frac{1}{x+1}\right)=\frac13\left(g(x)+h(x)\right)$$ Las funciones $g(x)$ y $h(x)$ son hipérbolas con el intervalo $g\ne0$ y $h\ne0$ . Y la función $y$ tiene el rango en $\mathbb{R}$ en particular, $y(0)=0$ .

Answer 3

Creo que esta gama es más adecuada $\bar{\mathbb{R}}$ que es la línea de números reales ampliada ( o la línea Números reales con extensión afín si lo prefiere ) y no $\mathbb{R}$ .

$\mathbb{R}$ no incluye $\pm\infty$ y en los dos polos ( $x=-1$ y $x=2$ ) se puede decir que esta función adopta estos "valores".

$\bar{\mathbb{R}}$ incluye estos valores.